题目
有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品时接受这批产品，次品数大于2时拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品.若产品的次品率为10%,求(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率.(2)需作第二次检验的概率.(3)这批产品按第二次检验的标准被接受的概率.(4) 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率.(5)这批产品被接受的概率.
有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品时接受这批产品，次品数大于2时拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品.若产品的次品率为10%,求
(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率.
(2)需作第二次检验的概率.
(3)这批产品按第二次检验的标准被接受的概率.
(4) 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率.
(5)这批产品被接受的概率.
题目解答
答案
解：若以 X表示所抽得的 10件产品中所含的次品数，则X~B(10,0.1)；又若以Y表示第二次抽检中出现的次品数，则Y~B(5,0.1).
(1)按题意所求概率为
(2) 需作第二次检验的概率为
(3)按第二次检验标准接受这批产品的概率为
P{Y = 0} = 0.9⁵ = 0.590
(4)所求概率为
P{(1≤X≤2)∩(Y=0)}.
因为X，Y的取值被认为是放回抽样的结果，即都是独立试验的结果，因此，事件{1≤X≤2}与{Y=0}是相互独立的,从而
P{(1≤X≤2)∩(Y=0)}=P{1≤X≤2}P{Y=0}=0.581×0.590 = 0.343
(5)这批产品被接受的概率为
P{(X=0)∪[(1≤X≤2)∩(Y=0)]}=P{X=0}+P{(1≤X≤2)∩(Y=0)}
=0.349+0.343=0.692
解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示第一次检验中10件产品中的次品数，Y表示第二次检验中5件产品中的次品数。根据题意，X和Y分别服从二项分布B(10,0.1)和B(5,0.1)。
步骤 2：计算第一次检验接受的概率
第一次检验接受的条件是X=0，即10件产品中没有次品。根据二项分布的概率公式，计算P(X=0)。
步骤 3：计算需作第二次检验的概率
需作第二次检验的条件是1≤X≤2，即10件产品中有1到2件次品。根据二项分布的概率公式，计算P(1≤X≤2)。
步骤 4：计算第二次检验接受的概率
第二次检验接受的条件是Y=0，即5件产品中没有次品。根据二项分布的概率公式，计算P(Y=0)。
步骤 5：计算第一次检验未能作决定且第二次检验通过的概率
第一次检验未能作决定且第二次检验通过的条件是1≤X≤2且Y=0。根据二项分布的概率公式和独立性，计算P(1≤X≤2)P(Y=0)。
步骤 6：计算产品被接受的总概率
产品被接受的条件是X=0或(1≤X≤2且Y=0)。根据概率的加法公式，计算P(X=0)+P(1≤X≤2)P(Y=0)。
设X表示第一次检验中10件产品中的次品数，Y表示第二次检验中5件产品中的次品数。根据题意，X和Y分别服从二项分布B(10,0.1)和B(5,0.1)。
步骤 2：计算第一次检验接受的概率
第一次检验接受的条件是X=0，即10件产品中没有次品。根据二项分布的概率公式，计算P(X=0)。
步骤 3：计算需作第二次检验的概率
需作第二次检验的条件是1≤X≤2，即10件产品中有1到2件次品。根据二项分布的概率公式，计算P(1≤X≤2)。
步骤 4：计算第二次检验接受的概率
第二次检验接受的条件是Y=0，即5件产品中没有次品。根据二项分布的概率公式，计算P(Y=0)。
步骤 5：计算第一次检验未能作决定且第二次检验通过的概率
第一次检验未能作决定且第二次检验通过的条件是1≤X≤2且Y=0。根据二项分布的概率公式和独立性，计算P(1≤X≤2)P(Y=0)。
步骤 6：计算产品被接受的总概率
产品被接受的条件是X=0或(1≤X≤2且Y=0)。根据概率的加法公式，计算P(X=0)+P(1≤X≤2)P(Y=0)。