题目
函数(x)=arctan (x+1)在定义域内（）.A.有上界无下界B.有下界无上界C.有界D.无界
函数
在定义域内（）.
A.有上界无下界
B.有下界无上界
C.有界
D.无界
题目解答
答案
解：在定义域内的值域为
，既有上界也有下界，
故本题选C.
解析
步骤 1：确定函数$f(x)=\arctan (x+1)$的定义域
函数$f(x)=\arctan (x+1)$的定义域为全体实数，即$x\in (-\infty,+\infty)$，因为$\arctan$函数的定义域为全体实数。
步骤 2：确定函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域
函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，因为$\arctan$函数的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，而$x+1$的取值范围为全体实数，所以$f(x)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。
步骤 3：判断函数$f(x)=\arctan (x+1)$是否有界
由于函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，所以函数$f(x)$既有上界也有下界，即函数$f(x)$是有界的。
函数$f(x)=\arctan (x+1)$的定义域为全体实数，即$x\in (-\infty,+\infty)$，因为$\arctan$函数的定义域为全体实数。
步骤 2：确定函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域
函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，因为$\arctan$函数的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，而$x+1$的取值范围为全体实数，所以$f(x)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。
步骤 3：判断函数$f(x)=\arctan (x+1)$是否有界
由于函数$f(x)=\arctan (x+1)$的值域为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，所以函数$f(x)$既有上界也有下界，即函数$f(x)$是有界的。