题目
求下列极限:lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(3)+dfrac (1)(9)+... +dfrac (1)({3)^n});
求下列极限:
;
题目解答
答案
显然
为首项为
，公比为
的等比数列的前
项和，所以由等比数列求和公式，有
∴
解析
步骤 1：识别数列类型
数列$1+\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{9}+\cdots +\dfrac {1}{{3}^{n}}$是一个等比数列，其中首项$a_1=1$，公比$q=\dfrac{1}{3}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，将$a_1=1$和$q=\dfrac{1}{3}$代入，得到$S_n=\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{3})^n)}{1-\dfrac{1}{3}}$。
步骤 3：计算极限
将$S_n$的表达式代入极限$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n$，得到$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{3})^n)}{1-\dfrac{1}{3}}$。由于$\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac{1}{3})^n=0$，所以$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n=\dfrac{1(1-0)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}$。
数列$1+\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{9}+\cdots +\dfrac {1}{{3}^{n}}$是一个等比数列，其中首项$a_1=1$，公比$q=\dfrac{1}{3}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，将$a_1=1$和$q=\dfrac{1}{3}$代入，得到$S_n=\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{3})^n)}{1-\dfrac{1}{3}}$。
步骤 3：计算极限
将$S_n$的表达式代入极限$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n$，得到$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{3})^n)}{1-\dfrac{1}{3}}$。由于$\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac{1}{3})^n=0$，所以$\lim _{n\rightarrow \infty }S_n=\dfrac{1(1-0)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{2}$。