求下列极限:lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(3)+dfrac (1)(9)+... +dfrac (1)({3)^n});

考查要点：本题主要考查无穷等比级数的求和，需要学生掌握等比数列求和公式及其在极限情况下的应用。

解题核心思路：

1. 识别题目中的数列为首项为1，公比为$\dfrac{1}{3}$的等比数列。
2. 应用等比数列前$n+1$项和的公式，化简表达式。
3. 当$n \rightarrow \infty$时，利用公比绝对值小于1时无穷级数的和公式直接求极限。

破题关键点：

• 正确判断项数：数列从$1$到$\dfrac{1}{3^n}$共有$n+1$项。
• 极限处理：当$n \rightarrow \infty$时，$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}$趋近于$0$。

步骤1：识别等比数列
数列$1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \cdots, \dfrac{1}{3^n}$是首项$a=1$，公比$r=\dfrac{1}{3}$的等比数列，共有$n+1$项。

步骤2：应用等比数列求和公式
前$n+1$项和为：
$S_{n+1} = \frac{1 \cdot \left[1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}{1 - \dfrac{1}{3}} = \frac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left[1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]$

步骤3：取极限
当$n \rightarrow \infty$时，$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n+1} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$