幂级数 sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^n的收敛区间sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^nA、 sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^n B 、sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^nC 、sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^nD、 sum _(i=1)^infty dfrac ({n)^2+1}({2)^nn!}(x)^n

步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 $\dfrac{{n}^{2}+1}{{2}^{n}n!}{x}^{n}$，其中 ${a}_{n}=\dfrac{{n}^{2}+1}{{2}^{n}n!}$。

步骤 2：计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\right|$ 来确定。
\[
\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{\dfrac{{n}^{2}+1}{{2}^{n}n!}}{\dfrac{{(n+1)}^{2}+1}{{2}^{n+1}(n+1)!}}\right|
\]
\[
=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{({n}^{2}+1){2}^{n+1}(n+1)!}{{2}^{n}n!({(n+1)}^{2}+1)}\right|
\]
\[
=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{2({n}^{2}+1)(n+1)}{{(n+1)}^{2}+1}\right|
\]
\[
=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{2(1+\dfrac{1}{{n}^{2}})(n+1)}{{(1+\dfrac{1}{n})}^{2}+\dfrac{1}{{n}^{2}}}\right|
\]
\[
=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac{2(n+1)}{1}\right|=+\infty
\]
因此，收敛半径 $R=+\infty$。

步骤 3：确定收敛区间
由于收敛半径 $R=+\infty$，所以幂级数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上收敛。