设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,且f(a)＜g(a),f(b)＞g(b),试证 存在ξ ∈(a,b)使得 f(ξ)=g(ξ)

考查要点：本题主要考查连续函数的零点定理（介值定理）的应用，以及通过构造辅助函数解决方程根的存在性问题。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将两个函数的差值定义为新的函数，转化为寻找该函数的零点问题。
2. 验证零点定理的条件：确认辅助函数在区间端点处的函数值符号相反，并利用连续函数的性质保证零点存在。

破题关键点：

• 正确构造辅助函数：设 $h(x) = g(x) - f(x)$，将原问题转化为证明 $h(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在零点。
• 分析端点函数值的符号：根据题意，$h(a) > 0$ 且 $h(b) < 0$，满足零点定理的条件。

步骤1：构造辅助函数
定义函数 $h(x) = g(x) - f(x)$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，因此 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上也连续。

步骤2：分析端点函数值

• 在 $x = a$ 处：
  $h(a) = g(a) - f(a) > 0 \quad (\text{因为 } f(a) < g(a))$
• 在 $x = b$ 处：
  $h(b) = g(b) - f(b) < 0 \quad (\text{因为 } f(b) > g(b))$

步骤3：应用零点定理
根据零点定理，若连续函数 $h(x)$ 在区间端点处的函数值符号相反，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $h(\xi) = 0$，即：
$g(\xi) - f(\xi) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(\xi) = g(\xi).$