题目
设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,且f(a)＜g(a),f(b)＞g(b),试证 存在ξ ∈(a,b)使得 f(ξ)=g(ξ)
设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,且f(a)＜g(a),f(b)＞g(b),试证 存在ξ ∈(a,b)使得 f(ξ)=g(ξ)
题目解答
答案
最佳答案
用高中的勘根定理(零点存在定理),设h(x)=g(x)-f(x),则h(a)>0,h(b)
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 \( h(x) = g(x) - f(x) \)。由于 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，因此 \( h(x) \) 也在 \([a, b]\) 上连续。
步骤 2：计算辅助函数在端点的值
计算 \( h(a) \) 和 \( h(b) \) 的值：
\[ h(a) = g(a) - f(a) \]
\[ h(b) = g(b) - f(b) \]
根据题设条件，有 \( f(a) < g(a) \) 和 \( f(b) > g(b) \)，因此：
\[ h(a) = g(a) - f(a) > 0 \]
\[ h(b) = g(b) - f(b) < 0 \]
步骤 3：应用零点存在定理
由于 \( h(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \( h(a) > 0 \) 而 \( h(b) < 0 \)，根据零点存在定理（介值定理），存在 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( h(\xi) = 0 \)。即：
\[ h(\xi) = g(\xi) - f(\xi) = 0 \]
从而有：
\[ f(\xi) = g(\xi) \]
定义辅助函数 \( h(x) = g(x) - f(x) \)。由于 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，因此 \( h(x) \) 也在 \([a, b]\) 上连续。
步骤 2：计算辅助函数在端点的值
计算 \( h(a) \) 和 \( h(b) \) 的值：
\[ h(a) = g(a) - f(a) \]
\[ h(b) = g(b) - f(b) \]
根据题设条件，有 \( f(a) < g(a) \) 和 \( f(b) > g(b) \)，因此：
\[ h(a) = g(a) - f(a) > 0 \]
\[ h(b) = g(b) - f(b) < 0 \]
步骤 3：应用零点存在定理
由于 \( h(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \( h(a) > 0 \) 而 \( h(b) < 0 \)，根据零点存在定理（介值定理），存在 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( h(\xi) = 0 \)。即：
\[ h(\xi) = g(\xi) - f(\xi) = 0 \]
从而有：
\[ f(\xi) = g(\xi) \]