1.应用格林公式计算下列曲线积分:-|||-(1) (int )((x+y))^2dx-((x)^2+(y)^2)dy, 其中L是以A(1,1),B(3,2),C (2,5)为顶点的三角形,-|||-方向取正向;-|||-(2) iint ((e)^xsin y-my)dx+((e)^xcos y-m)dy, 其中m为常数,AB为由(a,0)到(0,0)经过-|||-圆 ^2+(y)^2=ax 上半部的路线.

考查要点：
本题主要考查格林公式的应用，将曲线积分转化为二重积分进行计算。需要掌握格林公式的条件、正确计算偏导数，并能根据积分路径确定积分区域。

解题核心思路：

1. 验证路径闭合性：若积分路径非闭合，需构造闭合路径或直接参数化计算。
2. 应用格林公式：将曲线积分转换为二重积分，计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$。
3. 确定积分区域：根据路径形状（如三角形、圆等）计算二重积分。

破题关键点：

• 问题（1）：确认三角形顶点坐标，正确计算偏导数并应用质心公式简化积分。
• 问题（2）：构造闭合路径，利用对称性简化含指数项的积分，仅保留常数项的积分。

第（1）题

验证路径闭合性

三角形路径 $L$ 是闭合的，可直接应用格林公式。

计算偏导数

$P = (x+y)^2$，$Q = -(x^2 + y^2)$，则：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2(x+y)$
因此：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - 2(x+y) = -4x - 2y$

确定积分区域

三角形顶点为 $A(1,1)$，$B(3,2)$，$C(2,5)$。利用质心公式：
质心坐标 $\bar{x} = \frac{1+3+2}{3} = 2$，$\bar{y} = \frac{1+2+5}{3} = \frac{8}{3}$，面积 $S = \frac{7}{2}$。
二重积分可分解为：
$\iint_D (-4x - 2y) \, dA = -4 \iint_D x \, dA - 2 \iint_D y \, dA = -4 \cdot \bar{x} S - 2 \cdot \bar{y} S$
代入数据得：
$-4 \cdot 2 \cdot \frac{7}{2} - 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{7}{2} = -28 - \frac{56}{3} = -\frac{140}{3}$

第（2）题

构造闭合路径

补直线段 $BA$（从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$），闭合路径 $C = AB + BA$ 包围区域 $D$（上半圆 $x^2 + y^2 \leq ax$）。

计算偏导数

$P = e^x y - m y$，$Q = e^x \cos y - m$，则：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x - m$
因此：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = e^x (\cos y - 1) + m$

简化积分

利用对称性，含 $e^x (\cos y - 1)$ 的积分在上半圆对称区域为 $0$，仅保留常数项：
$\iint_D m \, dA = m \cdot \text{面积}(D) = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}$

计算沿 $BA$ 的积分

路径 $BA$ 上 $y=0$，$dy=0$，积分值为 $0$。
原积分结果为闭合积分减去 $BA$ 的积分，即：
$\frac{m a^2 \pi}{8}$