39. (2.0分) z=arctan(y)/(x) 的偏导数 (partial z)/(partial x)=(2x)/(x^2)+y^(2)A. 对B. 错

本题考查多元函数偏导数的计算。解题思路是根据偏导数的定义和求导公式，对函数$z = \arctan\frac{y}{x}$关于$x$求偏导数，然后将计算结果与题目所给的偏导数进行比较。

1. 首先，设$u=\frac{y}{x}$，则$z = \arctan u$。
   • 根据复合函数求导法则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。
2. 然后，求$\frac{dz}{du}$：
   • 对于$z = \arctan u$，根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$，可得$\frac{dz}{du}=\frac{1}{1 + u^{2}}$。
3. 接着，求$\frac{\partial u}{\partial x}$：
   • 因为$u=\frac{y}{x}=y\cdot x^{-1}$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$u$关于$x$求偏导数，此时$y$看作常数，则$\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot(-1)\cdot x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}$。
4. 最后，计算$\frac{\partial z}{\partial x}$：
   • 将$\frac{dz}{du}=\frac{1}{1 + u^{2}}$和$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}}$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$中，得到$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}}\cdot(-\frac{y}{x^{2}})$。
   • 对$\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}}\cdot(-\frac{y}{x^{2}})$进行化简：
     • 先将$\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}}$通分，$1+(\frac{y}{x})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}$，则$\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$。
     • 所以$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot(-\frac{y}{x^{2}})=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$。
   • 而题目中给出的偏导数是$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$，与我们计算的结果$-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$不相等。