题目
(本题满分10分)求曲线^3-xy+(y)^3=1(xgeqslant 0,ygeqslant 0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
(本题满分10分)
求曲线
上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.

题目解答
答案
[分析]考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法.
[详解]构造函数

令
,得唯一驻点
,即
.



考虑边界上的点,
;

距离函数
在三点的取值分别为
,


所以最长距离为
,最短距离为1.

解析
步骤 1:构造拉格朗日函数
构造函数$L(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+\lambda ({x}^{3}-xy+{y}^{3}-1)$,其中${x}^{2}+{y}^{2}$是距离平方函数,$\lambda$是拉格朗日乘子,${x}^{3}-xy+{y}^{3}-1=0$是约束条件。
步骤 2:求偏导数
对$L(x,y)$分别求$x$和$y$的偏导数,得到:
$\dfrac {\partial L}{\partial x}=2x+\lambda (3{x}^{2}-y)=0$
$\dfrac {\partial L}{\partial y}=2y+\lambda (3{y}^{2}-x)=0$
步骤 3:求解方程组
联立上述两个方程和约束条件${x}^{3}-xy+{y}^{3}=1$,解得唯一驻点$x=1$,$y=1$。
步骤 4:考虑边界点
考虑边界上的点,即$x=0$或$y=0$时,得到点$M_2(0,1)$和$M_3(1,0)$。
步骤 5:计算距离
计算距离函数$f(x,y)=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$在点$(1,1)$,$(0,1)$,$(1,0)$的取值,分别为$f(1,1)=\sqrt {2}$,$f(0,1)=1$,$f(1,0)=1$。
步骤 6:确定最值
根据计算结果,最长距离为$\sqrt {2}$,最短距离为1。
构造函数$L(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+\lambda ({x}^{3}-xy+{y}^{3}-1)$,其中${x}^{2}+{y}^{2}$是距离平方函数,$\lambda$是拉格朗日乘子,${x}^{3}-xy+{y}^{3}-1=0$是约束条件。
步骤 2:求偏导数
对$L(x,y)$分别求$x$和$y$的偏导数,得到:
$\dfrac {\partial L}{\partial x}=2x+\lambda (3{x}^{2}-y)=0$
$\dfrac {\partial L}{\partial y}=2y+\lambda (3{y}^{2}-x)=0$
步骤 3:求解方程组
联立上述两个方程和约束条件${x}^{3}-xy+{y}^{3}=1$,解得唯一驻点$x=1$,$y=1$。
步骤 4:考虑边界点
考虑边界上的点,即$x=0$或$y=0$时,得到点$M_2(0,1)$和$M_3(1,0)$。
步骤 5:计算距离
计算距离函数$f(x,y)=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$在点$(1,1)$,$(0,1)$,$(1,0)$的取值,分别为$f(1,1)=\sqrt {2}$,$f(0,1)=1$,$f(1,0)=1$。
步骤 6:确定最值
根据计算结果,最长距离为$\sqrt {2}$,最短距离为1。