求不定积分 int (sin^2 x cos x)/(1 + 4sin^2 x) dx.
求不定积分 $\int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} dx$.
题目解答
答案
我们要求解不定积分：
$\int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} \, dx$
第一步：观察被积函数的结构
被积函数中含有 $\sin^2 x$、$\cos x$，并且分母是关于 $\sin^2 x$ 的表达式。注意到 $\cos x\, dx$ 是 $\sin x$ 的微分，这提示我们可以使用换元法，令：
$u = \sin x$
则有：
$du = \cos x\, dx$
将原积分用 $u$ 表示：
- $\sin^2 x = u^2$
- $\cos x\, dx = du$
代入原积分：
$\int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} \, dx = \int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du$
第二步：化简有理函数
我们现在要求：
$\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du$
这个分式可以进行代数化简。注意到分子和分母都是二次的，我们可以做多项式除法或拆项。
将分子写成与分母相关的形式：
$\frac{u^2}{1 + 4u^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4u^2}{1 + 4u^2} = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{(1 + 4u^2) - 1}{1 + 4u^2} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right)$
所以：
$\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du = \int \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right) du = \frac{1}{4} \int 1\, du - \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du$
第三步：分别积分
第一项很简单：
$\frac{1}{4} \int 1\, du = \frac{1}{4} u$
第二项：
$\int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du$
这是一个标准的反正切积分形式。我们令：
$\int \frac{1}{1 + (2u)^2} \, du$
令 $v = 2u$，则 $dv = 2 du$，即 $du = \frac{1}{2} dv$，所以：
$\int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + v^2} \, dv = \frac{1}{2} \arctan v + C = \frac{1}{2} \arctan(2u) + C$
因此，第二项为：
$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \arctan(2u) = -\frac{1}{8} \arctan(2u)$
第四步：合并结果并代回原变量
我们有：
$\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du = \frac{1}{4} u - \frac{1}{8} \arctan(2u) + C$
将 $u = \sin x$ 代回：
$= \frac{1}{4} \sin x - \frac{1}{8} \arctan(2 \sin x) + C$
最终答案：
$\boxed{\int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} \, dx = \frac{1}{4} \sin x - \frac{1}{8} \arctan(2 \sin x) + C}$
解析
本题考查不定积分的换元法和有理函数的化简积分。解题思路如下：
- 观察被积函数的结构，发现含有 $\sin^2 x$、$\cos x$，且分母是关于 $\sin^2 x$ 的表达式，注意到 $\cos x\, dx$ 是 $\sin x$ 的微分，提示使用换元法，令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x\, dx$。
- 将原积分用 $u$ 表示，得到 $\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du$。
- 化简有理函数 $\frac{u^2}{1 + 4u^2}$，将其变形为 $\frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right)$。
- 分别积分 $\int \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right) du$，得到 $\frac{1}{4} \int 1\, du - \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du$。
- 对于 $\int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du$，令 $v = 2u$，则 $dv = 2 du$，即 $du = \frac{1}{2} dv$，将其变形为 $\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + v^2} \, dv$，根据标准的反正切积分形式 $\int \frac{1}{1 + v^2} \, dv = \arctan v + C$，得到 $\frac{1}{2} \arctan v + C = \frac{1}{2} \arctan(2u) + C$。
- 合并结果并代回原变量 $u = \sin x$。
下面进行详细的计算：
- 令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x\, dx$，原积分 $\int \frac{\sin^2 x \cos x}{1 + 4\sin^2 x} \, dx$ 变为 $\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du$。
- 化简 $\frac{u^2}{1 + 4u^2}$：
$\begin{align*}\frac{u^2}{1 + 4u^2} &= \frac{1}{4} \cdot \frac{4u^2}{1 + 4u^2}\\&= \frac{1}{4} \cdot \frac{(1 + 4u^2) - 1}{1 + 4u^2}\\&= \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right)\end{align*}$ - 分别积分 $\int \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right) du$：
$\begin{align*}\int \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4u^2} \right) du &= \frac{1}{4} \int 1\, du - \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du\\\\&= \frac{1}{4} u - \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du\end{align*}$ - 对于 $\int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du$，令 $v = 2u$，则 $dv = 2 du$，即 $du = \frac{1}{2} dv$：
$\begin{align*}\int \frac{1}{1 + 4u^2} \, du &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + v^2} \, dv\\&= \frac{1}{2} \arctan v + C\\&= \frac{1}{2} \arctan(2u) + C\end{align*}$ - 合并结果并代回原变量 $u = \sin x$：
$\begin{align*}\int \frac{u^2}{1 + 4u^2} \, du &= \frac{1}{4} u - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \arctan(2u) + C\\&= \frac{1}{4} \sin x - \frac{1}{8} \arctan(2 \sin x) + C\end{align*}$