求下列排列的逆序数：(1) 41253(2) 3712456(3) 36715284(4) n(n-1)...21

我们来逐个求下列排列的逆序数。
所谓逆序数，是指在一个排列中，前面的数比后面的数大，这样的数对的个数。
即：对于排列 $ a_1a_2\cdots a_n $，若 $ i < j $ 但 $ a_i > a_j $，则称 $ (a_i, a_j) $ 是一个逆序对，所有逆序对的总数就是该排列的逆序数。

（1）排列：41253

我们逐个数来计算每个数后面比它小的数的个数。

排列：4, 1, 2, 5, 3

• 第一个数是 4，看它后面的数：1, 2, 5, 3
  比4小的有：1, 2, 3 → 共 3 个逆序对：(4,1), (4,2), (4,3)

• 第二个数是 1，后面的数：2, 5, 3
  比1小的：无 → 0 个

• 第三个数是 2，后面的数：5, 3
  比2小的：无 → 0 个

• 第四个数是 5，后面的数：3
  比5小的：3 → 1 个逆序对：(5,3)

• 第五个数是 3，后面无数 → 0 个

总逆序数：3 + 0 + 0 + 1 + 0 = 4

（2）排列：3712456

排列：3, 7, 1, 2, 4, 5, 6

逐个分析：

• 3，后面：7,1,2,4,5,6
  比3小的：1, 2 → 2 个（注意：7,4,5,6 都大于3，不算）

• 7，后面：1,2,4,5,6
  比7小的：1,2,4,5,6 → 全部都小 → 5 个

• 1，后面：2,4,5,6
  比1小的：无 → 0

• 2，后面：4,5,6
  比2小的：无 → 0

• 4，后面：5,6
  比4小的：无 → 0

• 5，后面：6 → 比5小的：无 → 0

• 6，后面无数 → 0

总逆序数：2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7

（3）排列：36715284

排列：3, 6, 7, 1, 5, 2, 8, 4

逐个分析：

• 3，后面：6,7,1,5,2,8,4
  比3小的：1, 2 → 2 个

• 6，后面：7,1,5,2,8,4
  比6小的：1,5,2,4 → 4 个

• 7，后面：1,5,2,8,4
  比7小的：1,5,2,4 → 4 个

• 1，后面：5,2,8,4
  比1小的：无 → 0

• 5，后面：2,8,4
  比5小的：2,4 → 2 个

• 2，后面：8,4
  比2小的：无（4 > 2）→ 0

• 8，后面：4
  比8小的：4 → 1 个

• 4，后面无数 → 0

总逆序数：2 + 4 + 4 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 = 13

（4）排列：$ n(n-1)(n-2)\cdots 2\,1 $

这是一个完全逆序排列，即从 $ n $ 递减到 $ 1 $。

我们要求它的逆序数。

在这个排列中，每一个数对 $ (i, j) $，只要 $ i < j $，就有 $ a_i > a_j $，因为是严格递减的。

所以，所有可能的数对都是逆序对。

总共有 $ n $ 个数，从中任取两个不同的位置 $ i < j $，就有一个逆序对。

所以逆序数 = 从 $ n $ 个数中任取两个的组合数 =
$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

答案：$ \boxed{\frac{n(n-1)}{2}} $

最终答案总结：

（1）41253 的逆序数：$ \boxed{4} $
（2）3712456 的逆序数：$ \boxed{7} $
（3）36715284 的逆序数：$ \boxed{13} $
（4）$ n(n-1)\cdots21 $ 的逆序数：$ \boxed{\frac{n(n-1)}{2}} $