题目
26.设|E_(k)|是[0,1]中的可测集列，m(E_(k))=1(k=1,2,...)，证明：m(bigcap_(k=1)^inftyE_(k))=1.
26.设$|E_{k}|$是[0,1]中的可测集列，$m(E_{k})=1(k=1,2,\cdots)$，证明：
$m(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_{k})=1.$
题目解答
答案
由题设，对每个 $k$，有 $m(E_k) = 1$，故补集测度为：
\[ m([0,1] - E_k) = 1 - m(E_k) = 0. \]
利用德摩根公式：
\[ [0,1] - \bigcap_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{k=1}^\infty ([0,1] - E_k). \]
由于可数个零测集的并集仍为零测集，得：
\[ m\left(\bigcup_{k=1}^\infty ([0,1] - E_k)\right) = 0. \]
因此：
\[ m\left([0,1] - \bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) = 0, \]
从而：
\[ m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) = m([0,1]) - 0 = 1. \]
**答案：**
\[
\boxed{m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) = 1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查测度论中的补集性质、德摩根定律以及零测集的性质。
解题核心思路：通过分析每个集合的补集测度为零，利用德摩根定律将交集的补集转化为可数个零测集的并集，进而得出原交集的测度。
破题关键点：
- 补集测度计算：每个$E_k$的补集测度为$0$；
- 德摩根定律应用：将交集的补集转换为并集；
- 零测集的可数并集仍为零测集：从而推导出原交集的测度。
步骤1：分析补集测度
由题设$m(E_k) = 1$，根据测度的可加性，补集的测度为：
$m([0,1] - E_k) = 1 - m(E_k) = 0.$
步骤2：应用德摩根定律
根据德摩根定律，交集的补集可表示为：
$[0,1] - \bigcap_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{k=1}^\infty ([0,1] - E_k).$
步骤3：计算并集的测度
由于每个$[0,1] - E_k$是零测集，且可数个零测集的并集仍为零测集，故：
$m\left(\bigcup_{k=1}^\infty ([0,1] - E_k)\right) = 0.$
步骤4：求原交集的测度
由测度的可加性，原交集的测度为：
$m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) = m([0,1]) - m\left([0,1] - \bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) = 1 - 0 = 1.$