题目
1.有 10 件产品,其中2件次品.现无放回地抽取3件,求:-|||-(1)这3件产品全是正品的概率;-|||-(2)这3件产品恰有1件次品的概率;-|||-(3)这3件产品至少有1件次品的概率.
题目解答
答案
本题考查了概率的计算，属于基础题。
(1)设这3件产品全是正品为事件A，则$P(A)=\frac{C_8^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$
(2)设这3件产品恰有1件次品为事件B，则$P(B)=\frac{C_2^1C_8^2}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$
(3)设这3件产品至少有1件次品为事件C，则$P(C)=1-\frac{C_8^3}{C_{10}^3}=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$
解析
步骤 1：计算全是正品的概率
从10件产品中抽取3件，其中全是正品的概率，即从8件正品中抽取3件的概率。使用组合数计算，$C_8^3$表示从8件正品中抽取3件的组合数，$C_{10}^3$表示从10件产品中抽取3件的组合数。因此，$P(A)=\frac{C_8^3}{C_{10}^3}$。
步骤 2：计算恰有1件次品的概率
从10件产品中抽取3件，其中恰有1件次品的概率，即从2件次品中抽取1件，从8件正品中抽取2件的概率。使用组合数计算，$C_2^1$表示从2件次品中抽取1件的组合数，$C_8^2$表示从8件正品中抽取2件的组合数。因此，$P(B)=\frac{C_2^1C_8^2}{C_{10}^3}$。
步骤 3：计算至少有1件次品的概率
从10件产品中抽取3件，其中至少有1件次品的概率，即从10件产品中抽取3件，减去全是正品的概率。因此，$P(C)=1-P(A)$。
从10件产品中抽取3件，其中全是正品的概率，即从8件正品中抽取3件的概率。使用组合数计算，$C_8^3$表示从8件正品中抽取3件的组合数，$C_{10}^3$表示从10件产品中抽取3件的组合数。因此，$P(A)=\frac{C_8^3}{C_{10}^3}$。
步骤 2：计算恰有1件次品的概率
从10件产品中抽取3件，其中恰有1件次品的概率，即从2件次品中抽取1件，从8件正品中抽取2件的概率。使用组合数计算，$C_2^1$表示从2件次品中抽取1件的组合数，$C_8^2$表示从8件正品中抽取2件的组合数。因此，$P(B)=\frac{C_2^1C_8^2}{C_{10}^3}$。
步骤 3：计算至少有1件次品的概率
从10件产品中抽取3件，其中至少有1件次品的概率，即从10件产品中抽取3件，减去全是正品的概率。因此，$P(C)=1-P(A)$。