题目
4、曲线积分int_(L)ydx-xdy=____，其中L为抛物线y=x^2从点O(0,0)到点M(2,4)一段弧.
4、曲线积分$\int_{L}ydx-xdy=$____，其中L为抛物线$y=x^{2}$从点O(0,0)到点M(2,4)一段弧.
题目解答
答案
将曲线 $y = x^2$ 代入积分，得 $dy = 2x \, dx$。则
\[
\int_{L} y \, dx - x \, dy = \int_{0}^{2} x^2 \, dx - x \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{2} -x^2 \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3}.
\]
答案：$\boxed{-\frac{8}{3}}$
解析
步骤 1：参数化曲线
给定曲线 $y = x^2$，从点 O(0,0) 到点 M(2,4)，我们可以直接使用 $x$ 作为参数，即 $x = t$，$y = t^2$，其中 $t$ 的范围是从 0 到 2。
步骤 2：计算微分
根据参数化，我们有 $dx = dt$ 和 $dy = 2t \, dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $y = t^2$，$dx = dt$ 和 $dy = 2t \, dt$ 代入原积分，得到 \[ \int_{L} y \, dx - x \, dy = \int_{0}^{2} t^2 \, dt - t \cdot 2t \, dt = \int_{0}^{2} t^2 \, dt - 2t^2 \, dt = \int_{0}^{2} -t^2 \, dt. \]
步骤 4：计算定积分
计算定积分 $\int_{0}^{2} -t^2 \, dt$，得到 \[ -\int_{0}^{2} t^2 \, dt = -\left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3}. \]
给定曲线 $y = x^2$，从点 O(0,0) 到点 M(2,4)，我们可以直接使用 $x$ 作为参数，即 $x = t$，$y = t^2$，其中 $t$ 的范围是从 0 到 2。
步骤 2：计算微分
根据参数化，我们有 $dx = dt$ 和 $dy = 2t \, dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $y = t^2$，$dx = dt$ 和 $dy = 2t \, dt$ 代入原积分，得到 \[ \int_{L} y \, dx - x \, dy = \int_{0}^{2} t^2 \, dt - t \cdot 2t \, dt = \int_{0}^{2} t^2 \, dt - 2t^2 \, dt = \int_{0}^{2} -t^2 \, dt. \]
步骤 4：计算定积分
计算定积分 $\int_{0}^{2} -t^2 \, dt$，得到 \[ -\int_{0}^{2} t^2 \, dt = -\left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3}. \]