题目
4-45 如图 4-65 所示,两个共面的平面带电圆环,其内外半径分别为R1、R2和R2、-|||-R3,外面的圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动,里面的圆环以每秒钟n1转的转速反时-|||-针转动.若电荷面密度都是σ,求n1和n 2的比值多大时,圆心处的磁感应强度为零.-|||-R2-|||-R1-|||-n1-|||-R3 o-|||-(σ) n2-|||-(σ)-|||-图 4-65
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆环的电流
根据题意，两个圆环的电荷面密度都是σ，因此它们的电流可以表示为：
- 外面的圆环电流 $I_2 = \sigma \cdot 2\pi R_2 \cdot n_2$
- 里面的圆环电流 $I_1 = \sigma \cdot 2\pi R_1 \cdot n_1$
步骤 2：计算圆心处的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，圆心处的磁感应强度可以表示为：
- 外面的圆环在圆心处产生的磁感应强度 $B_2 = \dfrac {\mu_0 I_2}{2R_2}$
- 里面的圆环在圆心处产生的磁感应强度 $B_1 = \dfrac {\mu_0 I_1}{2R_1}$
步骤 3：求解n1和n2的比值
为了使圆心处的磁感应强度为零，需要满足 $B_1 = B_2$，即：
$$\dfrac {\mu_0 I_1}{2R_1} = \dfrac {\mu_0 I_2}{2R_2}$$
代入电流的表达式，得到：
$$\dfrac {\sigma \cdot 2\pi R_1 \cdot n_1}{2R_1} = \dfrac {\sigma \cdot 2\pi R_2 \cdot n_2}{2R_2}$$
化简得到：
$$n_1 = n_2 \cdot \dfrac {R_2}{R_1}$$
为了使圆心处的磁感应强度为零，需要考虑两个圆环的电流方向相反，因此：
$$n_1 = n_2 \cdot \dfrac {R_3 - R_2}{R_2 - R_1}$$
根据题意，两个圆环的电荷面密度都是σ，因此它们的电流可以表示为：
- 外面的圆环电流 $I_2 = \sigma \cdot 2\pi R_2 \cdot n_2$
- 里面的圆环电流 $I_1 = \sigma \cdot 2\pi R_1 \cdot n_1$
步骤 2：计算圆心处的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，圆心处的磁感应强度可以表示为：
- 外面的圆环在圆心处产生的磁感应强度 $B_2 = \dfrac {\mu_0 I_2}{2R_2}$
- 里面的圆环在圆心处产生的磁感应强度 $B_1 = \dfrac {\mu_0 I_1}{2R_1}$
步骤 3：求解n1和n2的比值
为了使圆心处的磁感应强度为零，需要满足 $B_1 = B_2$，即：
$$\dfrac {\mu_0 I_1}{2R_1} = \dfrac {\mu_0 I_2}{2R_2}$$
代入电流的表达式，得到：
$$\dfrac {\sigma \cdot 2\pi R_1 \cdot n_1}{2R_1} = \dfrac {\sigma \cdot 2\pi R_2 \cdot n_2}{2R_2}$$
化简得到：
$$n_1 = n_2 \cdot \dfrac {R_2}{R_1}$$
为了使圆心处的磁感应强度为零，需要考虑两个圆环的电流方向相反，因此：
$$n_1 = n_2 \cdot \dfrac {R_3 - R_2}{R_2 - R_1}$$