设 X_1, X_2, ... X_n ... 是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为 lambda 的指数分布，则下述正确的是(）A. lim _(n arrow infty) P(lambda sum_{i=1)^n X_i - n)/(sqrt(n)) leq x} = Phi(x)；B. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_i - n)/(sqrt(n)) leq x} = Phi(x)；C. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_i - lambda)/(sqrt(n lambda)) leq x} = Phi(x)；D. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_i - lambda)/(n lambda) leq x} = Phi(x)；

本题考查独立同分布的中心极限定理的应用。解题思路是先求出随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n\cdots$的期望和方差，再根据独立同分布的中心极限定理得到$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的近似分布，最后对其进行标准化处理，从而判断各个选项的正确性。

步骤一：求$X_i$的期望和方差

已知$X_i$均服从参数为$\lambda$的指数分布，根据指数分布的性质，若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，则其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。
所以对于$X_i$，有$E(X_i)=\frac{1}{\lambda}$，$D(X_i)=\frac{1}{\lambda^2}$，$i = 1, 2, \cdots, n$。

步骤二：求$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的期望和方差

因为$X_1, X_2, \cdots, X_n\cdots$是独立同分布的随机变量序列，根据期望和方差的性质：

• 期望的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$。
  所以$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=n\times\frac{1}{\lambda}=\frac{n}{\lambda}$。
• 方差的性质：若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立，则$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
  所以$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=n\times\frac{1}{\lambda^2}=\frac{n}{\lambda^2}$。

步骤三：根据独立同分布的中心极限定理得到$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的近似分布

独立同分布的中心极限定理：设$X_1, X_2, \cdots, X_n\cdots$是独立同分布的随机变量序列，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$（$i = 1, 2, \cdots, n$），则当$n$充分大时，$\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(n\mu, n\sigma^2)$。
由步骤二可知$\mu = \frac{1}{\lambda}$，$\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$，所以$\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(\frac{n}{\lambda}, \frac{n}{\lambda^2})$。

步骤四：对$\sum_{i = 1}^{n}X_i$进行标准化处理

设$Z=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)}{\sqrt{D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)}}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0, 1)$。
将$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{n}{\lambda}$，$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{n}{\lambda^2}$代入上式可得：
$Z=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - \frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}}=\frac{\lambda\sum_{i = 1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}}$
所以$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{\lambda\sum_{i = 1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\} = \Phi(x)$，其中$\Phi(x)$是标准正态分布的分布函数。

步骤五：判断各个选项的正确性

• 选项A：由步骤四可知$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{\lambda\sum_{i = 1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\} = \Phi(x)$，该选项正确。
• 选项B：$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}}$不是$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的标准化形式，所以$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\} \neq \Phi(x)$，该选项错误。
• 选项C：$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - \lambda}{\sqrt{n\lambda}}$不是$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的标准化形式，所以$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - \lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\} \neq \Phi(x)$，该选项错误。
• 选项D：$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - \lambda}{n\lambda}$不是$\sum_{i = 1}^{n}X_i$的标准化形式，所以$\lim_{n \to \infty}P\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - \lambda}{n\lambda} \leq x\} \neq \Phi(x)$，该选项错误。