题目
(35) int dfrac (x)({x)^2-x-2}dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解分母
分母 ${x}^{2}-x-2$ 可以分解为 $(x-2)(x+1)$，因此原式可以写为 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}$ 分解为部分分式，即 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}=\dfrac {A}{x-2}+\dfrac {B}{x+1}$。通过比较系数，可以得到 $A=2$ 和 $B=1$，因此原式可以写为 $\dfrac {2}{x-2}+\dfrac {1}{x+1}$。
步骤 3：积分
对 $\dfrac {2}{x-2}+\dfrac {1}{x+1}$ 进行积分，得到 $\int \dfrac {2}{x-2}dx+\int \dfrac {1}{x+1}dx$。根据积分公式，$\int \dfrac {2}{x-2}dx=2\ln |x-2|+C$，$\int \dfrac {1}{x+1}dx=\ln |x+1|+C$。
步骤 4：合并结果
将步骤 3 中的结果合并，得到 $\dfrac {1}{3}(2\ln |x-2|+\ln |x+1|)+C$。
分母 ${x}^{2}-x-2$ 可以分解为 $(x-2)(x+1)$，因此原式可以写为 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}$ 分解为部分分式，即 $\dfrac {x}{(x-2)(x+1)}=\dfrac {A}{x-2}+\dfrac {B}{x+1}$。通过比较系数，可以得到 $A=2$ 和 $B=1$，因此原式可以写为 $\dfrac {2}{x-2}+\dfrac {1}{x+1}$。
步骤 3：积分
对 $\dfrac {2}{x-2}+\dfrac {1}{x+1}$ 进行积分，得到 $\int \dfrac {2}{x-2}dx+\int \dfrac {1}{x+1}dx$。根据积分公式，$\int \dfrac {2}{x-2}dx=2\ln |x-2|+C$，$\int \dfrac {1}{x+1}dx=\ln |x+1|+C$。
步骤 4：合并结果
将步骤 3 中的结果合并，得到 $\dfrac {1}{3}(2\ln |x-2|+\ln |x+1|)+C$。