[题目] int arcsin xdx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对反三角函数积分的处理能力。

解题核心思路：

1. 选择分部积分法，将被积函数拆分为两个部分，通常选择arcsin x作为被积函数中的“u”，剩余部分作为“dv”。
2. 简化剩余积分，通过换元法处理分部积分后得到的积分项，注意代数变形和符号处理。

破题关键点：

• 正确选择u和dv：令$u = \arcsin x$，则$du = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$，$dv = dx$，则$v = x$。
• 处理剩余积分：通过换元法（令$u = 1 - x^2$）简化$\int \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$。

分部积分法应用：
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，令：

• $u = \arcsin x$，则$du = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
• $dv = dx$，则$v = x$

代入公式得：
$\begin{aligned}\int \arcsin x \, dx &= x \arcsin x - \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\&= x \arcsin x - \int \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx\end{aligned}$

处理剩余积分：
对$\int \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$使用换元法：

1. 令$u = 1 - x^2$，则$du = -2x dx$，即$x dx = -\dfrac{du}{2}$。
2. 代入积分得：
   $\begin{aligned}\int \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= \int \dfrac{-\dfrac{du}{2}}{\sqrt{u}} \\&= -\dfrac{1}{2} \int u^{-1/2} du \\&= -\dfrac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} + C \\&= -\sqrt{u} + C \\&= -\sqrt{1 - x^2} + C\end{aligned}$

合并结果：
将剩余积分代回原式：
$\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \left( -\sqrt{1 - x^2} \right) + C = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$