五、正男感(4人感-|||-27.已知函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且 (0)=f(1)=0. 试证,-|||-在开区间(0,1) 内至少存在一点ξ,使得 '(xi )cos xi =f(xi )sin xi 成立.

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = f(x) \cos x$。由于 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $\cos x$ 在 $[0,1]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。

步骤 2：验证辅助函数的端点值
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值：
$$
F(0) = f(0) \cos 0 = 0 \cdot 1 = 0
$$
$$
F(1) = f(1) \cos 1 = 0 \cdot \cos 1 = 0
$$
因此，$F(0) = F(1) = 0$。

步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果函数 $F(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0) = F(1)$，则在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $F'(\xi) = 0$。

步骤 4：计算辅助函数的导数
计算 $F(x)$ 的导数：
$$
F'(x) = f'(x) \cos x - f(x) \sin x
$$
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi) = 0$，即：
$$
f'(\xi) \cos \xi - f(\xi) \sin \xi = 0
$$
整理得：
$$
f'(\xi) \cos \xi = f(\xi) \sin \xi
$$