设D是平面直角坐标系中以A(1,1 ), (-1,1), C(1,-1) 为顶点的三角形区-|||-域,D1是D在第二象限的部分,则 iint (xy+(e)^(x^2)sin y)dxdy= ()-|||-(A)2[e^x^2 sin ydxdy (B) iint xydxdy-|||-D1-|||-(C) iint (xy+(e)^(x^2)sin y)dxdy. (D)0

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性性质，特别是利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。

解题核心思路：

1. 分解积分区域：将原积分区域D划分为关于坐标轴对称的子区域（如D2关于y轴对称，D3关于x轴对称）。
2. 分析被积函数的奇偶性：
   • xy项：在对称区域中，若被积函数为奇函数，则积分值为0。
   • $e^{x^2}\sin y$项：若被积函数为偶函数，则积分可转化为对称区域一侧的两倍。
3. 综合各部分结果：结合对称性分析，确定最终积分值。

破题关键点：

• 识别对称性：正确划分积分区域并判断其对称性。
• 判断奇偶性：明确被积函数在不同变量下的奇偶性。

分解积分区域

将三角形区域D沿y轴分为D2（关于y轴对称）和D3（关于x轴对称），其中D1是D在第二象限的部分。

分析被积函数

1. $xy$项：

   • 在D2（关于y轴对称）中，$xy$是$x$的奇函数，故$\iint_{D2} xy \,dxdy = 0$。
   • 在D3（关于x轴对称）中，$xy$是$y$的奇函数，故$\iint_{D3} xy \,dxdy = 0$。
   • 结论：$\iint_D xy \,dxdy = 0$。

2. $e^{x^2}\sin y$项：

   • 在D2中，$e^{x^2}$是$x$的偶函数，$\sin y$是$y$的奇函数。整体关于$y$轴对称，故$\iint_{D2} e^{x^2}\sin y \,dxdy = 2\iint_{D1} e^{x^2}\sin y \,dxdy$。
   • 在D3中，$e^{x^2}\sin y$是$y$的奇函数，故$\iint_{D3} e^{x^2}\sin y \,dxdy = 0$。
   • 结论：$\iint_D e^{x^2}\sin y \,dxdy = 2\iint_{D1} e^{x^2}\sin y \,dxdy$。

综合结果

原积分可分解为：
$\iint_D (xy + e^{x^2}\sin y) \,dxdy = \iint_D xy \,dxdy + \iint_D e^{x^2}\sin y \,dxdy = 0 + 2\iint_{D1} e^{x^2}\sin y \,dxdy.$
因此，原积分等于$2\iint_{D1} e^{x^2}\sin y \,dxdy$，对应选项(A)。