题目
3.曲线{x^2-2 y^2=1 z=0=1
3.曲线$\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 y^{2}=1 \\ z=0\end{array}\right.$绕x轴旋转一周所得曲面方程为( ).
A. $x^{2}-2 y^{2}+z^{2}=1$
B. $x^{2}-2 y^{2}-2 z^{2}=1$
C. $x^{2}-2 y^{2}-z^{2}=1$
D. $x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1$
题目解答
答案
B. $x^{2}-2 y^{2}-2 z^{2}=1$
解析
步骤 1：理解旋转曲面的生成过程
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 y^{2}=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $x$-轴旋转时，每点 $(x, y, 0)$ 生成半径为 $\sqrt{y^2 + z^2}$ 的圆。这意味着在旋转过程中，$y$ 和 $z$ 的值会相互影响，形成新的曲面。
步骤 2：替换原方程中的 $y$
将原方程中 $y$ 替换为 $\pm \sqrt{y^2 + z^2}$，得到新的方程：\[x^2 - 2(y^2 + z^2) = 1\]
步骤 3：化简方程
化简得到：\[x^2 - 2y^2 - 2z^2 = 1\]
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 y^{2}=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $x$-轴旋转时，每点 $(x, y, 0)$ 生成半径为 $\sqrt{y^2 + z^2}$ 的圆。这意味着在旋转过程中，$y$ 和 $z$ 的值会相互影响，形成新的曲面。
步骤 2：替换原方程中的 $y$
将原方程中 $y$ 替换为 $\pm \sqrt{y^2 + z^2}$，得到新的方程：\[x^2 - 2(y^2 + z^2) = 1\]
步骤 3：化简方程
化简得到：\[x^2 - 2y^2 - 2z^2 = 1\]