若某产品的总产量的变化率为f(t)=10t-t^2，那么t从t_(0)=4到t_(1)=8这段时间内的总产量为（）A. (272)/(6)B. (272)/(4)C. (272)/(3)D. (272)/(5)

考查要点：本题主要考查定积分的应用，特别是利用积分求解总产量的问题。题目给出的是总产量的变化率函数，需要通过积分计算特定时间段内的总产量。

解题核心思路：
总产量的变化率函数即总产量函数的导数，因此总产量函数是变化率函数的积分。通过定积分计算从$t_0=4$到$t_1=8$的积分值，即可得到这段时间内的总产量。

破题关键点：

1. 正确积分：对$f(t)=10t-t^2$进行积分，得到总产量函数的表达式。
2. 代入上下限：计算定积分时，注意代入上下限并正确进行代数运算。

步骤1：确定总产量函数
总产量的变化率函数为$f(t)=10t-t^2$，总产量函数$P(t)$是$f(t)$的积分：
$P(t) = \int (10t - t^2) \, dt = 5t^2 - \frac{1}{3}t^3 + C$
由于求的是时间段内的总产量增量，积分常数$C$会被抵消，无需考虑。

步骤2：计算定积分
总产量从$t=4$到$t=8$的增量为：
$\begin{aligned}\text{总产量} &= \int_{4}^{8} (10t - t^2) \, dt \\&= \left[ 5t^2 - \frac{1}{3}t^3 \right]_{4}^{8} \\&= \left(5 \cdot 8^2 - \frac{1}{3} \cdot 8^3\right) - \left(5 \cdot 4^2 - \frac{1}{3} \cdot 4^3\right)\end{aligned}$

步骤3：代入计算

• 当$t=8$时：
  $5 \cdot 8^2 = 5 \cdot 64 = 320, \quad \frac{1}{3} \cdot 8^3 = \frac{512}{3} \\ \Rightarrow 320 - \frac{512}{3}$

• 当$t=4$时：
  $5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80, \quad \frac{1}{3} \cdot 4^3 = \frac{64}{3} \\ \Rightarrow 80 - \frac{64}{3}$

步骤4：求差值
$\begin{aligned}\text{总产量} &= \left(320 - \frac{512}{3}\right) - \left(80 - \frac{64}{3}\right) \\&= 320 - 80 - \frac{512}{3} + \frac{64}{3} \\&= 240 - \frac{448}{3} \\&= \frac{720}{3} - \frac{448}{3} \\&= \frac{272}{3}\end{aligned}$