题目

(4)lim_(ntoinfty)[(n)/((n+1)^2)+(n)/((n+2)^2)+...+(n)/((n+n)^2)].

(4)$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right].$

题目解答

答案

将原和式重写为： \[ \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k)^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2}. \] 此形式为黎曼和，对应定积分： \[ \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} \, dx. \] 计算积分： \[ \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的求解，特别是利用黎曼和转化为定积分的方法来处理分式和式的极限问题。

解题核心思路：
将和式中的每一项进行变形，构造出积分形式的黎曼和，从而将求和转化为定积分计算。关键在于识别出和式中的分母结构与积分分割点的关系，并正确选择积分函数和区间。

破题关键点：

  1. 分式变形：将每一项的分母写成与$n$相关联的形式，提取出$\frac{1}{n}$的因子。
  2. 识别黎曼和结构：将变形后的和式与定积分的黎曼和形式对应，确定积分函数$f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$和积分区间$[0,1]$。
  3. 计算定积分：通过基本积分公式求出结果。

将原和式改写为：
$\sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k)^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2}.$

关键步骤分析：

  1. 构造黎曼和形式：
    每一项中的$\frac{1}{n}$对应积分中的$\Delta x$，而$\frac{k}{n}$对应积分变量$x$的取值点。
  2. 确定积分函数与区间：
    和式中的$\frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2}$对应函数$f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$，积分区间为$[0,1]$（因为$k$从$1$到$n$，$\frac{k}{n}$从$\frac{1}{n}$趋近于$0$到$1$）。
  3. 计算定积分：
    $\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.$