[题目]设A,B,c均为n阶矩阵,E为n阶单位矩-|||-阵,若 =E+AB, =A+CA, 则 B-C 为 ()-|||-A.E-|||-B. -E-|||-C.A-|||-D. -A

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形与逆矩阵的应用，以及矩阵运算的基本性质。

解题核心思路：

1. 整理方程：将给定的矩阵方程通过移项变形，提取公因子，转化为矩阵乘法形式。
2. 逆矩阵关系：通过变形后的方程，发现$(E-A)$与$B$、$C$之间的逆矩阵关系。
3. 构造差矩阵：通过构造$B-C$与$(E-A)$的乘积，结合逆矩阵的性质，直接得出结果。

破题关键点：

• 关键变形：将$B=E+AB$变形为$(E-A)B=E$，得出$B$是$(E-A)$的逆矩阵。
• 逆用逆矩阵性质：利用$B(E-A)=E$，结合$C(E-A)=A$，构造$(B-C)(E-A)$的表达式。
• 可逆性推导：通过$(E-A)$可逆，消去$(E-A)$，直接得出$B-C=E$。

步骤1：整理第一个方程
由$B = E + AB$，移项得：
$(E - A)B = E$
这表明$(E - A)$可逆，且$B = (E - A)^{-1}$。

步骤2：整理第二个方程
由$C = A + CA$，移项得：
$C(E - A) = A$
两边右乘$(E - A)^{-1}$，得：
$C = A(E - A)^{-1}$

步骤3：构造$B - C$的表达式
将$B$和$C$代入$B - C$：
$B - C = (E - A)^{-1} - A(E - A)^{-1}$

步骤4：构造$(B - C)(E - A)$
计算$(B - C)(E - A)$：
$\begin{aligned}(B - C)(E - A) &= B(E - A) - C(E - A) \\&= E - A \quad (\because B(E - A)=E,\ C(E - A)=A)\end{aligned}$

步骤5：利用$(E - A)$可逆
由于$(E - A)$可逆，两边左乘$(E - A)^{-1}$：
$B - C = (E - A)(E - A)^{-1} = E$