在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑多涂或未涂均无分。^---^当xarrow0时,f(x)= int _0^ (x^2) (e^ (t^3)-1)dt_是g(x)=x^7的(). A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较，涉及变上限积分的泰勒展开和极限计算。

解题核心思路：

1. 当$x \to 0$时，积分上限$x^2 \to 0$，被积函数$e^{t^3} - 1$可展开为泰勒级数，保留主部$t^3$。
2. 将积分近似为$\int_0^{x^2} t^3 \, dt$，计算得$f(x) \approx \frac{x^8}{4}$。
3. 比较$f(x)$与$g(x) = x^7$的阶数，通过极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$判断结果。

破题关键点：

• 泰勒展开简化被积函数，抓住主部$t^3$。
• 积分结果的主部为$x^8$，明显高于$g(x) = x^7$的阶数。

步骤1：展开被积函数
当$t \to 0$时，$e^{t^3} - 1$的泰勒展开为：
$e^{t^3} - 1 = t^3 + \frac{t^6}{2} + \cdots$
忽略高阶小项后，主部为$t^3$。

步骤2：近似积分
将被积函数近似为$t^3$，积分变为：
$f(x) \approx \int_0^{x^2} t^3 \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^{x^2} = \frac{(x^2)^4}{4} = \frac{x^8}{4}.$

步骤3：比较阶数
$g(x) = x^7$，比较$f(x)$与$g(x)$的阶数：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^8}{4}}{x^7} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{4} = 0.$
极限为0，说明$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小。