题目
4.设A为 times n 矩阵,对应的齐次线性方程组为 =0, 那么有-|||-结论 () 。-|||-(A)当 geqslant n 时,方程组仅有零解;-|||-(B)当 geqslant n 时,方程组有非零解;-|||-(C)若A有n阶子式不为零,则方程组只有零解;-|||-(D)若所有 n-1 阶子式不为零,则方程组只有零解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解齐次线性方程组的性质
齐次线性方程组 Ax=0 的解集总是包含零向量，即 x=0 总是方程组的一个解。如果方程组只有零解，那么方程组的解集就是零向量的集合，即解集是 {0}。如果方程组有非零解，那么方程组的解集就包含除了零向量之外的其他向量。
步骤 2：分析选项 (A) 和 (B)
选项 (A) 和 (B) 都是关于方程组的解集与方程个数和未知数个数的关系。当方程个数 $m$ 大于或等于未知数个数 $n$ 时，方程组的解集可能是零解集，也可能是非零解集，这取决于方程组的系数矩阵 A 的秩。因此，选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 3：分析选项 (C)
选项 (C) 说明如果 A 有 n 阶子式不为零，那么方程组只有零解。根据克拉默法则，如果系数矩阵 A 的行列式不为零，那么方程组 Ax=0 只有零解。因此，如果 A 有 n 阶子式不为零，那么方程组 Ax=0 只有零解。选项 (C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
选项 (D) 说明如果所有 n-1 阶子式不为零，那么方程组只有零解。然而，即使所有 n-1 阶子式不为零，方程组的解集也可能是非零解集。因此，选项 (D) 不正确。
齐次线性方程组 Ax=0 的解集总是包含零向量，即 x=0 总是方程组的一个解。如果方程组只有零解，那么方程组的解集就是零向量的集合，即解集是 {0}。如果方程组有非零解，那么方程组的解集就包含除了零向量之外的其他向量。
步骤 2：分析选项 (A) 和 (B)
选项 (A) 和 (B) 都是关于方程组的解集与方程个数和未知数个数的关系。当方程个数 $m$ 大于或等于未知数个数 $n$ 时，方程组的解集可能是零解集，也可能是非零解集，这取决于方程组的系数矩阵 A 的秩。因此，选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 3：分析选项 (C)
选项 (C) 说明如果 A 有 n 阶子式不为零，那么方程组只有零解。根据克拉默法则，如果系数矩阵 A 的行列式不为零，那么方程组 Ax=0 只有零解。因此，如果 A 有 n 阶子式不为零，那么方程组 Ax=0 只有零解。选项 (C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
选项 (D) 说明如果所有 n-1 阶子式不为零，那么方程组只有零解。然而，即使所有 n-1 阶子式不为零，方程组的解集也可能是非零解集。因此，选项 (D) 不正确。