行列式 } 1 & 2 & 1 & 4 0 & -1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 3 的全部代数余子式之和等于______。A 0B -18C 20D -20

要解决行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}$ 的全部代数余子式之和问题，需逐一计算每个元素的代数余子式，再求和。

1. 代数余子式定义

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的余子式（行列式）。

2. 逐个计算代数余子式

行列式为上三角矩阵，划去行/列后得到的余子式多为三角行列式（值为对角线元素乘积），或因行/列成比例、全零而值为0。

第一行（$i=1$）

• $A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 2 \cdot 3) = -6$
• $A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 0 = 0$（前两行相同，行列式为0）
• $A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 = 0$（第一列全0，行列式为0）
• $A_{14} = (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot 0 = 0$（第三行全0，行列式为0）
• 第一行和：$-6 + 0 + 0 + 0 = -6$

第二行（$i=2$）

• $A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3) = -12$
• $A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) = 6$
• $A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 0 = 0$（第二、三列成比例，行列式为0）
• $A_{24} = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 = 0$（第三行全0，行列式为0）
• 第二行和：$-12 + 6 + 0 + 0 = -6$

第三行（$i=3$）

• $A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left[3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}\right] = 1 \cdot (3 \cdot 5) = 15$
• $A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) = -6$
• $A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) \cdot 3) = -3$
• $A_{34} = (-1)^{3+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot 0 = 0$（第三行全0，行列式为0）
• 第三行和：$15 - 6 - 3 + 0 = 6$

第四行（$i=4$）

• $A_{41} = (-1)^{4+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot \left[2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0\right] = -1 \cdot (-7) = 7$
• $A_{42} = (-1)^{4+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 = 0$（后两行相同，行列式为0）
• $A_{43} = (-1)^{4+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-1) \cdot 1) = 1$
• $A_{44} = (-1)^{4+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) \cdot 2) = -2$
• 第四行和：$7 + 0 + 1 - 2 = 6$

3. 全部代数余子式之和

将四行的和相加：
$-6 + (-6) + 6 + 6 = 0$

结论

行列式的全部代数余子式之和为 $\boldsymbol{0}$，对应选项 A。

答案：A