例5 二次型f(x_(1),x_(2))=x^TAx经正交变换x=Qy化为标准形y_(1)^2+3y_(2)^2，若Q的第一列是[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]^T，则Q=____.

二次型 $ f(x_1, x_2) = x^T A x $ 经正交变换 $ x = Q y $ 化为标准形 $ y_1^2 + 3y_2^2 $，特征值为 $ 1 $ 和 $ 3 $。已知 $ Q $ 的第一列 $ \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]^T $ 对应特征值 $ 1 $，设第二列 $ \alpha_2 = [x_1, x_2]^T $。由正交性得： \[ \frac{1}{\sqrt{2}}x_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}x_2 = 0 \implies x_1 = -x_2. \] 结合单位向量条件 $ x_1^2 + x_2^2 = 1 $，解得 $ x_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} $。对应特征值 $ 3 $，取 $ \alpha_2 = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right]^T $。 答案： \[ \boxed{\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}} \]