例5 二次型f(x_(1),x_(2))=x^TAx经正交变换x=Qy化为标准形y_(1)^2+3y_(2)^2，若Q的第一列是[(1)/(sqrt(2)),(1)/(sqrt(2))]^T，则Q=____.

考查要点：本题主要考查二次型的标准形、正交变换及正交矩阵的性质。关键在于理解正交变换下标准形的特征值与正交矩阵列向量的关系。

解题思路：

1. 确定特征值：标准形中的系数即为二次型矩阵$A$的特征值，本题中为$1$和$3$。
2. 正交矩阵性质：正交矩阵$Q$的列向量是$A$的对应特征值的单位正交特征向量。
3. 构造第二列：已知第一列对应特征值$1$，需构造与之正交且对应特征值$3$的单位向量。

破题关键：利用正交性条件和单位向量条件求解第二列向量。

步骤1：确定特征值与对应关系

标准形$y_1^2 + 3y_2^2$对应特征值$\lambda_1=1$和$\lambda_2=3$。已知$Q$的第一列$\alpha_1 = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]^T$对应$\lambda_1=1$，则第二列$\alpha_2$对应$\lambda_2=3$。

步骤2：利用正交性求第二列

设$\alpha_2 = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$，需满足：

1. 正交条件：$\alpha_1 \cdot \alpha_2 = 0$，即：
   $\frac{1}{\sqrt{2}}x_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}x_2 = 0 \implies x_1 = -x_2.$
2. 单位向量条件：$x_1^2 + x_2^2 = 1$，代入$x_2 = -x_1$得：
   $x_1^2 + (-x_1)^2 = 1 \implies 2x_1^2 = 1 \implies x_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$
   因此，$\alpha_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$或$\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$。通常取第一分量为正，故选择$\alpha_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$。

步骤3：构造正交矩阵$Q$

将$\alpha_1$和$\alpha_2$作为列向量，得到：
$Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$