[题目]求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (3sin x+{x)^2cos dfrac (1)(x)}((1+cos x)ln (1+x))

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换、有界函数与无穷小的乘积性质。

解题核心思路：

1. 分母处理：利用等价无穷小替换，将$\ln(1+x)$替换为$x$，并简化$(1+\cos x)$的近似值。
2. 分子处理：将$\sin x$替换为$x$，并分析$x^2\cos\frac{1}{x}$的极限行为。
3. 关键结论：有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，从而确定分子中$x^2\cos\frac{1}{x}$的极限为0。

分母简化

当$x \rightarrow 0$时：

• $\cos x \rightarrow 1$，故$1+\cos x \approx 2$；
• $\ln(1+x) \sim x$（等价无穷小替换）；
  因此分母可近似为：
  $(1+\cos x)\ln(1+x) \approx 2 \cdot x = 2x.$

分子简化

当$x \rightarrow 0$时：

• $\sin x \sim x$，故$3\sin x \approx 3x$；
• $x^2\cos\frac{1}{x}$中，$\cos\frac{1}{x}$有界（$|\cos\frac{1}{x}| \leq 1$），而$x^2 \rightarrow 0$，因此：
  $x^2\cos\frac{1}{x} \rightarrow 0.$
  综上，分子可近似为：
  $3\sin x + x^2\cos\frac{1}{x} \approx 3x + 0 = 3x.$

整体极限计算

将分子和分母的近似代入原式：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}.$