xy＇+y=x^2+3x+2的通解

步骤 1：识别方程类型
给定的方程是 xy' + y = x^2 + 3x + 2。这是一个一阶线性微分方程，可以写成 y' + P(x)y = Q(x) 的形式，其中 P(x) = 1/x，Q(x) = x + 3 + 2/x。

步骤 2：求解积分因子
为了求解这个方程，我们首先需要找到积分因子 μ(x)。积分因子 μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|。由于 x 是方程中的变量，我们可以假设 x > 0，因此 μ(x) = x。

步骤 3：应用积分因子
将积分因子 μ(x) = x 乘以方程的两边，得到 x^2y' + xy = x^3 + 3x^2 + 2x。注意到左边是 (xy)' 的导数，因此方程可以写成 (xy)' = x^3 + 3x^2 + 2x。

步骤 4：积分求解
对等式两边积分，得到 xy = ∫(x^3 + 3x^2 + 2x)dx = 1/4*x^4 + x^3 + x^2 + C，其中 C 是积分常数。

步骤 5：求解 y
最后，将 xy = 1/4*x^4 + x^3 + x^2 + C 除以 x，得到 y = 1/4*x^3 + x^2 + x + C/x。