9.设f(x)在[a,b]上可导，且f'_(+)(a)·f'_(-)(b)<0，试证明∃ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0.

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $f'_{+}(a) \cdot f'_{-}(b) < 0$。
情况1： $f'_{+}(a) > 0$ 且 $f'_{-}(b) < 0$

• $f'_{+}(a) > 0$ 表明 $f(x)$ 在 $a$ 右侧递增。
• $f'_{-}(b) < 0$ 表明 $f(x)$ 在 $b$ 左侧递减。
• 由连续性，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内必有最大值，该点导数为零（费马定理）。

情况2： $f'_{+}(a) < 0$ 且 $f'_{-}(b) > 0$

• $f'_{+}(a) < 0$ 表明 $f(x)$ 在 $a$ 右侧递减。
• $f'_{-}(b) > 0$ 表明 $f(x)$ 在 $b$ 左侧递增。
• 由连续性，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内必有最小值，该点导数为零（费马定理）。

结论：
无论哪种情况，均存在 $\xi \in (a, b)$，满足 $f'(\xi) = 0$。

$\boxed{\exists \xi \in (a, b), \text{使} f'(\xi) = 0}$