题目
44. 求曲线 (x)=dfrac (1)(2)ln (1+(x)^2)-4x+1 的凹凸区间和拐点。
44. 求曲线 
的凹凸区间和拐点。
题目解答
答案
解：
令
当
当
或
,
故拐点为
和
凸区间为
，凹区间为
解析
步骤 1：求一阶导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}\ln (1+{x}^{2})-4x+1$ 的一阶导数 $f'(x)$。
$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{1+x^2} - 4 = \frac{x}{1+x^2} - 4$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们需要求出函数 $f(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
$$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1+x^2} - 4\right) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$
步骤 3：确定凹凸区间和拐点
根据二阶导数的符号，我们可以确定函数的凹凸区间和拐点。
- 当 $f''(x) > 0$ 时，函数是凹的。
- 当 $f''(x) < 0$ 时，函数是凸的。
- 当 $f''(x) = 0$ 时，函数可能有拐点。
令 $f''(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。因此，我们需要检查 $x = \pm 1$ 附近的二阶导数符号。
- 当 $-1 < x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，函数是凸的。
- 当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，函数是凹的。
因此，拐点为 $x = \pm 1$，对应的函数值为：
$$f(1) = \frac{1}{2}\ln(1+1^2) - 4 \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}\ln 2 - 3$$
$$f(-1) = \frac{1}{2}\ln(1+(-1)^2) - 4 \cdot (-1) + 1 = \frac{1}{2}\ln 2 + 5$$
首先，我们需要求出函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}\ln (1+{x}^{2})-4x+1$ 的一阶导数 $f'(x)$。
$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{1+x^2} - 4 = \frac{x}{1+x^2} - 4$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们需要求出函数 $f(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
$$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1+x^2} - 4\right) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$
步骤 3：确定凹凸区间和拐点
根据二阶导数的符号，我们可以确定函数的凹凸区间和拐点。
- 当 $f''(x) > 0$ 时，函数是凹的。
- 当 $f''(x) < 0$ 时，函数是凸的。
- 当 $f''(x) = 0$ 时，函数可能有拐点。
令 $f''(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。因此，我们需要检查 $x = \pm 1$ 附近的二阶导数符号。
- 当 $-1 < x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，函数是凸的。
- 当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，函数是凹的。
因此，拐点为 $x = \pm 1$，对应的函数值为：
$$f(1) = \frac{1}{2}\ln(1+1^2) - 4 \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}\ln 2 - 3$$
$$f(-1) = \frac{1}{2}\ln(1+(-1)^2) - 4 \cdot (-1) + 1 = \frac{1}{2}\ln 2 + 5$$