设向量组1 2-|||-A:α1= -1-|||-2 α2= -2-|||-4 ,-|||-1 -21 2-|||-A:α1= -1-|||-2 α2= -2-|||-4 ,-|||-1 -2，求向量组A的一个极大线性无关组,并将不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示.

步骤 1：构造矩阵并进行初等行变换
构造矩阵$M$，其列向量为向量组$A$的向量，即
$$
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 6 \\ 3 & 6 & -1 & 9 \end{pmatrix}
$$
对矩阵$M$进行初等行变换，化为行最简形矩阵。首先，将第二行减去第一行的两倍，第三行减去第一行的三倍，得到
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}
$$
然后，将第三行除以2，得到
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}
$$
最后，将第三行减去第二行，得到
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
步骤 2：确定极大线性无关组
从行最简形矩阵中可以看出，矩阵的秩为2，因此向量组$A$的秩也为2。选取前两列对应的向量$x_1$和$x_3$作为极大线性无关组。
步骤 3：用极大线性无关组表示其他向量
设$x_2 = a_1x_1 + a_2x_3$，$x_4 = b_1x_1 + b_2x_3$，则有
$$
\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = a_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = b_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + b_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
$$
解得$a_1 = 2$，$a_2 = 0$，$b_1 = 3$，$b_2 = 0$，因此
$$
x_2 = 2x_1, \quad x_4 = 3x_1
$$