题目

二、选择题(每小题3分,共15分)-|||-1.设随机变量X和Y相互独立,又设x,y为任意实数,则不正确的是 ()-|||-(A) Xlt X,Ylt Y =P XYlt X times P Ylt Y -|||-(B) Xgt X,Ygt Y =P XYXgt X times P Ygt Y -|||-(C) Xlt X,Ygt Y =P Xlt X times (1-P Yleqslant Y )-|||-(D) Xgt X,Ygt Y =1-P XYleqslant x,Yleqslant y

题目解答

答案

【答案】

D

【解析】

A、$\left\{X\lt x,Y\lt y\right\}$表示的是事件$\left\{X\lt x\right\}$和$\left\{Y\lt y\right\}$同时发生. 又X与Y是相互独立的随机变量，则事件$\left\{X\lt x\right\}$和$\left\{Y\lt y\right\}$相互独立，$P\left\{X\lt x,Y\lt y\right\}=P\left\{X\lt x\right\}\times P\left\{Y\lt y\right\}$，故A正确；

B、$\left\{X\gt x,Y\gt y\right\}$表示的是事件$\left\{X\gt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$同时发生. 又X与Y是相互独立的随机变量，则事件$\left\{X\gt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$相互独立，$P\left\{X\gt x,Y\gt y\right\}=P\left\{X\gt x\right\}\times P\left\{Y\gt y\right\}$，故B正确；

C、$\left\{X\lt x,Y\gt y\right\}$表示的是事件$\left\{X\lt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$同时发生. 又X与Y是相互独立的随机变量，则事件$\left\{X\lt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$相互独立，$P\left\{X\lt x,Y\gt y\right\}=P\left\{X\lt x\right\}\times P\left\{Y\gt y\right\}=P\left\{X\lt x\right\}\times \left(1-P\left\{Y\leqslant y\right\}\right)$，故C正确；

D、$\left\{X\gt x,Y\gt y\right\}$表示的是事件$\left\{X\gt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$同时发生. 又X与Y是相互独立的随机变量，则事件$\left\{X\gt x\right\}$和$\left\{Y\gt y\right\}$相互独立，$P\left\{X\gt x,Y\gt y\right\}=P\left\{X\gt x\right\}\times P\left\{Y\gt y\right\}=\left(1-P\left\{X\leqslant x\right\}\right)\left(1-P\left\{Y\leqslant y\right\}\right)$$=1-P\left\{X\leqslant x\right\}-P\left\{Y\leqslant y\right\}+P\left\{X\leqslant x,Y\leqslant y\right\}\ne 1-P\left\{X\leqslant x,Y\leqslant y\right\}$，故D错误.

故选D.

解析

步骤 1：分析选项A
$P\{ X\lt x,Y\lt y\} =P\{ X\lt x\} \times P\{ Y\lt y\} $，由于X和Y相互独立，所以两个事件同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，因此A选项正确。
步骤 2：分析选项B
$P\{ X\gt x,Y\gt y\} =P\{ X\gt x\} \times P\{ Y\gt y\} $，同样由于X和Y相互独立，所以两个事件同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，因此B选项正确。
步骤 3：分析选项C
$P\{ X\lt x,Y\gt y\} =P\{ X\lt x\} \times (1-P\{ Y\leqslant y\} )$，由于X和Y相互独立，所以两个事件同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，而$1-P\{ Y\leqslant y\}$表示$P\{ Y\gt y\}$，因此C选项正确。
步骤 4：分析选项D
$P\{ X\gt x,Y\gt y\} =1-P\{ X\leqslant x,Y\leqslant y\}$，由于X和Y相互独立，$P\{ X\gt x,Y\gt y\}$不等于$1-P\{ X\leqslant x,Y\leqslant y\}$，因为$P\{ X\gt x,Y\gt y\}$等于$P\{ X\gt x\} \times P\{ Y\gt y\}$，而$1-P\{ X\leqslant x,Y\leqslant y\}$等于$1-P\{ X\leqslant x\} \times P\{ Y\leqslant y\}$，因此D选项不正确。