有三个盒子，甲盒装有2个红球，1个黑球；乙盒装有3个红球，1个黑球；丙盒装有2个红球，2个黑球，从中随机的取一个盒子，再任意取出一球，若已知取出的球是黑球，它取自乙盒的概率是______。A. 3/23B. 8/23C. 8/13D. 3/13

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设取到甲、乙、丙盒的事件分别为$A_1$、$A_2$、$A_3$，取出黑球的事件为$B$。
2. 计算先验概率：每个盒子被选中的概率均为$\frac{1}{3}$。
3. 计算条件概率：根据各盒黑球数量，求出$P(B|A_1)$、$P(B|A_2)$、$P(B|A_3)$。
4. 全概率公式：计算取出黑球的总概率$P(B)$。
5. 贝叶斯定理：通过$P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}$求解目标概率。

破题关键点：

• 正确计算各条件概率是基础，需注意各盒黑球数量与总球数的对应关系。
• 全概率公式和贝叶斯定理的公式应用需准确，避免计算错误。

步骤1：定义事件与先验概率

• 设$A_1$、$A_2$、$A_3$分别表示取到甲、乙、丙盒，$B$表示取出黑球。
• 先验概率：$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$。

步骤2：计算条件概率

• 甲盒：1黑球，3个球总数，故$P(B|A_1) = \frac{1}{3}$。
• 乙盒：1黑球，4个球总数，故$P(B|A_2) = \frac{1}{4}$。
• 丙盒：2黑球，4个球总数，故$P(B|A_3) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

步骤3：全概率公式求$P(B)$

根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \\&= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{12} = \frac{13}{36}.\end{aligned}$

步骤4：贝叶斯定理求$P(A_2|B)$

根据贝叶斯定理：
$\begin{aligned}P(A_2|B) &= \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} \\&= \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{13}{36}} \\&= \frac{\frac{1}{12}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{12} \cdot \frac{36}{13} = \frac{3}{13}.\end{aligned}$