题目
(1)将下列函数展开成x的幂级数,正确的有 ()-|||-① ^x=sum _(n=0)^infty dfrac ({ln )^na}(n!)(x)^n -infty lt xlt +infty ,-|||-② ^-(x^2)=sum _(n=0)^infty ((-1))^ndfrac ({x)^2n}(n!),-infty lt xlt +infty ;-|||-③ (cos )^2x=dfrac (1)(2)+sum _(n=0)^infty ((-1))^ndfrac ({(2x))^2n}(2(2n)!),-infty lt xlt +infty ,-|||-(A)0个 B)1个 (C)2个 (D)3个
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 ${a}^{x}$ 的幂级数展开
${a}^{x}$ 可以写成 ${e}^{x\ln a}$，利用 ${e}^{x}$ 的幂级数展开式 ${e}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n!}$，将 $x$ 替换为 $x\ln a$，得到 ${a}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{\ln }^{n}a}{n!}{x}^{n}$，因此①是正确的。
步骤 2：分析 ${e}^{-{x}^{2}}$ 的幂级数展开
${e}^{-{x}^{2}}$ 可以直接利用 ${e}^{x}$ 的幂级数展开式 ${e}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n!}$，将 $x$ 替换为 $-{x}^{2}$，得到 ${e}^{-{x}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-{x}^{2})}^{n}}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n}}{n!}$，因此②是正确的。
步骤 3：分析 ${\cos }^{2}x$ 的幂级数展开
${\cos }^{2}x$ 可以利用三角恒等式 ${\cos }^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}$，再利用 $\cos x$ 的幂级数展开式 $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n}}{(2n)!}$，将 $x$ 替换为 $2x$，得到 ${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{(2x)}^{2n}}{(2n)!}=\dfrac {1}{2}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{(2x)}^{2n}}{2(2n)!}$，因此③是正确的。
${a}^{x}$ 可以写成 ${e}^{x\ln a}$，利用 ${e}^{x}$ 的幂级数展开式 ${e}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n!}$，将 $x$ 替换为 $x\ln a$，得到 ${a}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{\ln }^{n}a}{n!}{x}^{n}$，因此①是正确的。
步骤 2：分析 ${e}^{-{x}^{2}}$ 的幂级数展开
${e}^{-{x}^{2}}$ 可以直接利用 ${e}^{x}$ 的幂级数展开式 ${e}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n!}$，将 $x$ 替换为 $-{x}^{2}$，得到 ${e}^{-{x}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-{x}^{2})}^{n}}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n}}{n!}$，因此②是正确的。
步骤 3：分析 ${\cos }^{2}x$ 的幂级数展开
${\cos }^{2}x$ 可以利用三角恒等式 ${\cos }^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}$，再利用 $\cos x$ 的幂级数展开式 $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{2n}}{(2n)!}$，将 $x$ 替换为 $2x$，得到 ${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{(2x)}^{2n}}{(2n)!}=\dfrac {1}{2}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {{(2x)}^{2n}}{2(2n)!}$，因此③是正确的。