题目

已知方阵A= (} 1& 1& 1& 1 1& 1& -1& 1 1& -1& 1& -1 1& -1& -1& 1 ) .

已知方阵 $A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1 \newline 1&1&-1&1\newline 1&-1&1&-1\newline 1&-1&-1&1 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $\pm2$ ，则 $A$ 相似于( )。

A. $\begin{pmatrix} 2&&& \newline &2&& \newline &&-2& \newline &&&-2 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 2&1&& \newline &2&& \newline &&2& \newline &&&-2 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 2&1&& \newline &2&1& \newline &&2& \newline &&&-2 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} 2&&& \newline &2&& \newline &&2& \newline &&&-2 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

∵ $A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1 \newline 1&1&-1&1\newline 1&-1&1&-1\newline 1&-1&-1&1 \end{pmatrix}$

∴ $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \newline 1&1&-1&1\newline 1&-1&1&-1\newline 1&-1&-1&1 \end{vmatrix}$

将第一行的-1倍依次加到第二行、第三行、第四行可得：

$=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \newline 0&0&-2&0\newline 0&-2&0&-2\newline 0&-2&-2&0 \end{vmatrix}$

用第一列的代数余子式可得：

$=\begin{vmatrix} 0&-2&0\newline -2&0&-2\newline -2&-2&0 \end{vmatrix}$

用第一行的代数余子式计算可得：

$=2\begin{vmatrix} -2&-2\newline -2&0 \end{vmatrix}$

$=2\times\left[-\left(-2\right)\times\left(-2\right)\right]$

$=2\times\left(-4\right)$

$=-8$ ；

故可推出：矩阵 $A$ 的特征值中，-2的个数是奇数个；故 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} 2&&& \newline &2&& \newline &&2& \newline &&&-2 \end{pmatrix}$ ；

本题的答案是：D。

解析

步骤 1：计算矩阵的特征多项式
首先，我们需要计算给定矩阵的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵的行列式来得到的，即计算矩阵减去特征值乘以单位矩阵的行列式。对于给定的矩阵，我们假设其特征值为λ，那么特征多项式为det(A - λI)，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵。

步骤 2：求解特征值
接下来，我们需要求解特征多项式等于0的方程，即det(A - λI) = 0。解这个方程可以得到矩阵的特征值。根据题目，已知方阵的特征值为乙干，这里我们假设乙干是已知的特征值。

步骤 3：判断相似矩阵
最后，我们需要判断哪个选项的矩阵与给定矩阵相似。两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值。因此，我们需要检查每个选项的矩阵是否具有与给定矩阵相同的特征值。如果某个选项的矩阵具有相同的特征值，那么它与给定矩阵相似。