一袋中有5个号码1,2,3,4,5，从中任取3个，记这3个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y。(1) 求(X,Y)的分布律。(2) 问：X,Y是否相互独立？

我们来逐步分析并解答这个概率题目。

题目解析

从一个袋子中任取3个号码，号码为 $1, 2, 3, 4, 5$。
记取出的3个号码中最小的号码为 $X$，最大的号码为 $Y$。

我们的问题是：

(1) 求 $(X,Y)$ 的分布律；
(2) 判断 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立。

第(1)问：求 $(X,Y)$ 的分布律

思路：

• 从5个号码中任取3个，共有 $\binom{5}{3} = 10$ 种不同的组合。
• 对于每一种组合，我们都可以找出最小值 $X$ 和最大值 $Y$。
• 然后统计每一对 $(X,Y)$ 出现的次数，除以10，得到分布律。

步骤：

我们枚举所有可能的组合，找出每种组合的 $X$ 和 $Y$：

组合	$X$（最小）	$Y$（最大）
{1,2,3}	1	3
{1,2,4}	1	4
{1,2,5}	1	5
{1,3,4}	1	4
{1,3,5}	1	5
{1,4,5}	1	5
{2,3,4}	2	4
{2,3,5}	2	5
{2,4,5}	2	5
{3,4,5}	3	5

现在统计每对 $(X,Y)$ 出现的次数：

$(X,Y)$	出现次数
(1,3)	1
(1,4)	2
(1,5)	3
(2,4)	1
(2,5)	2
(3,5)	1

因为总共有10种组合，所以分布律为：

$\begin{aligned}P(X=1,Y=3) &= \frac{1}{10} \\P(X=1,Y=4) &= \frac{2}{10} \\P(X=1,Y=5) &= \frac{3}{10} \\P(X=2,Y=4) &= \frac{1}{10} \\P(X=2,Y=5) &= \frac{2}{10} \\P(X=3,Y=5) &= \frac{1}{10} \\\end{aligned}$

其余组合概率为0。

第(2)问：判断 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立

思路：

两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，当且仅当对任意 $x,y$，有：

$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)$

我们可以用分布律来验证这个等式是否成立。

第一步：计算边缘分布

计算 $P(X=x)$：

从上面的联合分布中统计每个 $X$ 的出现次数：

• $X=1$：共 $1+2+3 = 6$ 次
• $X=2$：共 $1+2 = 3$ 次
• $X=3$：共 $1$ 次

所以：

$\begin{aligned}P(X=1) &= \frac{6}{10} = 0.6 \\P(X=2) &= \frac{3}{10} = 0.3 \\P(X=3) &= \frac{1}{10} = 0.1 \\\end{aligned}$

计算 $P(Y=y)$：

从联合分布中统计每个 $Y$ 的出现次数：

• $Y=3$：1次
• $Y=4$：2+1 = 3次
• $Y=5$：3+2+1 = 6次

所以：

$\begin{aligned}P(Y=3) &= \frac{1}{10} = 0.1 \\P(Y=4) &= \frac{3}{10} = 0.3 \\P(Y=5) &= \frac{6}{10} = 0.6 \\\end{aligned}$

第二步：验证是否满足独立性

我们任选一个联合概率，例如 $P(X=1, Y=3) = \frac{1}{10} = 0.1$，而：

$P(X=1) \cdot P(Y=3) = 0.6 \cdot 0.1 = 0.06 \ne 0.1$

所以不满足独立性条件。

结论

(1) $(X,Y)$ 的分布律如下：

$\begin{aligned}P(X=1,Y=3) &= \frac{1}{10} \\P(X=1,Y=4) &= \frac{2}{10} \\P(X=1,Y=5) &= \frac{3}{10} \\P(X=2,Y=4) &= \frac{1}{10} \\P(X=2,Y=5) &= \frac{2}{10} \\P(X=3,Y=5) &= \frac{1}{10} \\\end{aligned}$

其余组合概率为0。

(2) $X$ 和 $Y$ 不相互独立。

最终答案：

(1) 分布律如上。

(2) $X$ 和 $Y$ 不独立。

$\boxed{ \text{(1) 分布律如上；(2) 不独立} }$