题目

1.将一枚硬币抛3次，以随机变量X表示在3次中出现正面的次数，以随机变量Y表示在3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出(X,Y)的分布律.

题目解答

答案

将一枚硬币抛掷3次，设随机变量 $X$ 表示正面次数，$Y$ 表示正面与反面次数之差的绝对值。 - $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$。 - $Y = |2X - 3|$，则 $Y$ 的可能取值为 $1$ 和 $3$。计算每个组合的概率： 1. $X=0$ 时，$Y=3$，概率为 $\frac{1}{8}$。 2. $X=1$ 时，$Y=1$，概率为 $\frac{3}{8}$。 3. $X=2$ 时，$Y=1$，概率为 $\frac{3}{8}$。 4. $X=3$ 时，$Y=3$，概率为 $\frac{1}{8}$。其余组合概率为 $0$。 **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 1 & 3 \\ \hline 0 & 0 & \frac{1}{8} \\ 1 & \frac{3}{8} & 0 \\ 2 & \frac{3}{8} & 0 \\ 3 & 0 & \frac{1}{8} \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查联合分布律的求解，涉及随机变量的定义及组合概率计算。关键在于理解随机变量$Y$与$X$的关系，并正确计算对应组合的概率。

解题思路：

确定$X$的可能取值：抛3次硬币，正面次数$X$可取$0,1,2,3$。
推导$Y$的表达式：由题意，$Y = |2X - 3|$，因此$Y$的可能取值为$1$和$3$。
计算联合概率：根据$X$的取值对应的$Y$值，结合二项分布概率公式，列出所有可能的$(X,Y)$组合及其概率。

破题关键：通过$Y$与$X$的函数关系，将二维问题转化为一维问题，利用二项分布简化计算。

步骤1：确定$X$的可能取值及概率

抛3次硬币，正面次数$X$服从二项分布$B(3,0.5)$，其概率为：
$P(X=k) = \binom{3}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^3, \quad k=0,1,2,3$
具体概率：

$P(X=0) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = \frac{1}{8}$

步骤2：确定$Y$的表达式及取值

由$Y = |2X - 3|$，可得：

$X=0$或$3$时，$Y=3$
$X=1$或$2$时，$Y=1$

步骤3：构建联合分布律

根据$X$与$Y$的对应关系，联合概率为：

$(X=0,Y=3)$：概率$\frac{1}{8}$
$(X=1,Y=1)$：概率$\frac{3}{8}$
$(X=2,Y=1)$：概率$\frac{3}{8}$
$(X=3,Y=3)$：概率$\frac{1}{8}$
其余组合概率为$0$。