题目
求oint_(L) xy^2 , dy - x^2 y , dx，其中曲线L为圆周x^2 + y^2 = R^2依逆时针方向。 A. pi R^4B. (pi R^4)/(2)C. (pi R^4)/(4)D. (pi R^4)/(6)
求$\oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx$，其中曲线$L$为圆周$x^2 + y^2 = R^2$依逆时针方向。
- A. $\pi R^4$
- B. $\frac{\pi R^4}{2}$
- C. $\frac{\pi R^4}{4}$
- D. $\frac{\pi R^4}{6}$
题目解答
答案
由格林公式，将曲线积分转换为二重积分：
\[
\oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx = \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA
\]
其中，$D$ 为圆盘 $x^2 + y^2 \leq R^2$。转换为极坐标系：
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} \, d\theta = \frac{R^4}{4} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{\pi R^4}{2}
\]
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式将曲线积分转换为二重积分，对于给定的曲线积分 $\oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx$，我们有 $P = -x^2 y$ 和 $Q = xy^2$。根据格林公式，我们有：
\[ \oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2 \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2 \]
步骤 3：将偏导数代入格林公式
代入格林公式，我们得到：
\[ \iint_{D} \left( y^2 + x^2 \right) \, dA \]
步骤 4：转换为极坐标系
将二重积分转换为极坐标系，其中 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，我们得到：
\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} (r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta) r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta \]
步骤 5：计算二重积分
计算二重积分：
\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} \, d\theta = \frac{R^4}{4} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{\pi R^4}{2} \]
格林公式将曲线积分转换为二重积分，对于给定的曲线积分 $\oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx$，我们有 $P = -x^2 y$ 和 $Q = xy^2$。根据格林公式，我们有：
\[ \oint_{L} xy^2 \, dy - x^2 y \, dx = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2 \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2 \]
步骤 3：将偏导数代入格林公式
代入格林公式，我们得到：
\[ \iint_{D} \left( y^2 + x^2 \right) \, dA \]
步骤 4：转换为极坐标系
将二重积分转换为极坐标系，其中 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$dA = r \, dr \, d\theta$，我们得到：
\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} (r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta) r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta \]
步骤 5：计算二重积分
计算二重积分：
\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^3 \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} \, d\theta = \frac{R^4}{4} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{\pi R^4}{2} \]