1.已知函数f(x)=(int_(0)^xfrac(|sin t|dt)/(x^a))(x^a)在(0，+∞)上有界，则α的取值范围应为A. (0，+∞)B. (0，3]C. [1，2]D. (1，3]

本题考查函数在区间$(0, +\infty)$上的有界性，核心思路是分析当$x \to 0^+$和$x \to +\infty$时积分$\int_0^x |\sin t| \, dt$的渐进行为，并结合分母$x^\alpha$确定$\alpha$的取值范围。关键点在于：

1. 当$x \to 0^+$时，利用等价无穷小$|\sin t| \sim t$，积分近似为二次函数；
2. 当$x \to +\infty$时，积分的渐近值与$x$成正比，需结合分母$x^\alpha$的衰减速度。

当$x \to 0^+$时

1. 等价无穷小替换：当$t \to 0$时，$|\sin t| \sim t$，因此积分可近似为：
   $\int_0^x |\sin t| \, dt \sim \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2}.$
2. 代入函数表达式：
   $f(x) = \frac{\int_0^x |\sin t| \, dt}{x^\alpha} \sim \frac{x^2/2}{x^\alpha} = \frac{x^{2-\alpha}}{2}.$
3. 有界性条件：当$x \to 0^+$时，$x^{2-\alpha}$需有界，即指数$2 - \alpha \geq 0$，得$\alpha \leq 2$。

当$x \to +\infty$时

1. 积分渐近分析：$|\sin t|$的周期为$\pi$，每个周期内积分值为$2$，因此：
   $\int_0^x |\sin t| \, dt \approx \frac{2}{\pi} \cdot x.$
2. 代入函数表达式：
   $f(x) = \frac{\int_0^x |\sin t| \, dt}{x^\alpha} \approx \frac{2x/\pi}{x^\alpha} = \frac{2}{\pi} x^{1-\alpha}.$
3. 有界性条件：当$x \to +\infty$时，$x^{1-\alpha}$需有界，即指数$1 - \alpha \leq 0$，得$\alpha \geq 1$。

综合条件

结合两种情况，$\alpha$需满足：
$\alpha \leq 2 \quad \text{且} \quad \alpha \geq 1,$
即$\alpha \in [1, 2]$。