题目

计算下列定积分：(int )_(0)^sqrt (2)sqrt (2-{x)^2}dx；

计算下列定积分：

$\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}dx$ ；

题目解答

答案

设 $x=\sqrt{2}\sin t$ ，当 $x=0$ ， $t=0$ ，当 $x=\sqrt{2}$ ， $t=\frac{\pi}{2}$ ，故 $\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}dx$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2-\left(\sqrt{2}\sin t\right)^2}d\left(\sqrt{2}\sin t\right)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2tdt$ $=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\cos2t+1}{2}\right)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos2t+1\right)dt$

$=\left(\frac{\sin2t}{2}+t\right)\left |{\ ^{\frac{\pi}{2}}_{0}} \right.=0+\frac{\pi}{2}-0-0=\frac{\pi}{2}$ ，所以答案为 $\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$ 。

解析

步骤 1：换元
设$x=\sqrt{2}\sin t$，则$dx=\sqrt{2}\cos t dt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=\sqrt{2}$时，$t=\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：代入换元后的积分
${\int }_{0}^{\sqrt {2}}\sqrt {2-{x}^{2}}dx={\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin t)^2}d(\sqrt{2}\sin t)$
$={\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2-2\sin^2 t}\sqrt{2}\cos t dt$
$={\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2(1-\sin^2 t)}\sqrt{2}\cos t dt$
$={\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2\cos^2 t}\sqrt{2}\cos t dt$
$={\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt$
步骤 3：使用二倍角公式
$2\cos^2 t = 1 + \cos 2t$，所以
${\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt = {\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos 2t) dt$
$= {\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}1 dt + {\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t dt$
$= t{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\sin 2t{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}(\sin \pi - \sin 0)$
$= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}(0 - 0)$
$= \frac{\pi}{2}$