题目
装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为 ____ ．
装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为 ____ ．
题目解答
答案
解：设事件A为：任取2件产品都是一等品，事件Bi为：丢失的i等品，
则P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$+$\frac{1}{5}×$$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
所以P（B1|A）=$\frac{P（{B}_{1}）P（A|{B}_{1}）}{P（A）}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．
则P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$+$\frac{1}{5}×$$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
所以P（B1|A）=$\frac{P（{B}_{1}）P（A|{B}_{1}）}{P（A）}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$．
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为：任取2件产品都是一等品，事件B_i为：丢失的i等品，其中i=1,2,3分别代表一等品、二等品、三等品。
步骤 2：计算P(A)
根据全概率公式，P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)。
- P(B_1) = 5/10 = 1/2，因为一等品有5件，总共有10件产品。
- P(B_2) = 3/10，因为二等品有3件。
- P(B_3) = 2/10 = 1/5，因为三等品有2件。
- P(A|B_1) = C(4,2)/C(9,2)，因为丢失一件一等品后，箱子里剩下4件一等品，总共有9件产品。
- P(A|B_2) = C(5,2)/C(9,2)，因为丢失一件二等品后，箱子里剩下5件一等品，总共有9件产品。
- P(A|B_3) = C(5,2)/C(9,2)，因为丢失一件三等品后，箱子里剩下5件一等品，总共有9件产品。
将上述值代入全概率公式，得到P(A) = (1/2)×(C(4,2)/C(9,2)) + (3/10)×(C(5,2)/C(9,2)) + (1/5)×(C(5,2)/C(9,2)) = 2/9。
步骤 3：计算P(B_1|A)
根据贝叶斯公式，P(B_1|A) = P(B_1)P(A|B_1) / P(A)。
将上述值代入贝叶斯公式，得到P(B_1|A) = (1/2)×(C(4,2)/C(9,2)) / (2/9) = 3/8。
设事件A为：任取2件产品都是一等品，事件B_i为：丢失的i等品，其中i=1,2,3分别代表一等品、二等品、三等品。
步骤 2：计算P(A)
根据全概率公式，P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)。
- P(B_1) = 5/10 = 1/2，因为一等品有5件，总共有10件产品。
- P(B_2) = 3/10，因为二等品有3件。
- P(B_3) = 2/10 = 1/5，因为三等品有2件。
- P(A|B_1) = C(4,2)/C(9,2)，因为丢失一件一等品后，箱子里剩下4件一等品，总共有9件产品。
- P(A|B_2) = C(5,2)/C(9,2)，因为丢失一件二等品后，箱子里剩下5件一等品，总共有9件产品。
- P(A|B_3) = C(5,2)/C(9,2)，因为丢失一件三等品后，箱子里剩下5件一等品，总共有9件产品。
将上述值代入全概率公式，得到P(A) = (1/2)×(C(4,2)/C(9,2)) + (3/10)×(C(5,2)/C(9,2)) + (1/5)×(C(5,2)/C(9,2)) = 2/9。
步骤 3：计算P(B_1|A)
根据贝叶斯公式，P(B_1|A) = P(B_1)P(A|B_1) / P(A)。
将上述值代入贝叶斯公式，得到P(B_1|A) = (1/2)×(C(4,2)/C(9,2)) / (2/9) = 3/8。