题目

设 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(Acup B)=0.4, 则 P(Aoverline(B))= ___. (用小数表示)

设 $P(A)=0.4$, $P(B)=0.3$, $P(A\cup B)=0.4$, 则 $P(A\overline{B})=$ ___. (用小数表示)

题目解答

答案

我们已知以下概率信息：

  • $ P(A) = 0.4 $
  • $ P(B) = 0.3 $
  • $ P(A \cup B) = 0.4 $

要求的是：
$ P(A\overline{B}) = ? $
即：事件 $ A $ 发生且事件 $ B $ 不发生的概率。

第一步：利用并集公式求 $ P(A \cap B) $

并集的概率公式为：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

代入已知数值：

$0.4 = 0.4 + 0.3 - P(A \cap B)$

$0.4 = 0.7 - P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = 0.7 - 0.4 = 0.3$

第二步：求 $ P(A\overline{B}) $

事件 $ A $ 可以分解为两个互斥事件的和：

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

因此：

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$

即：

$P(A\overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

代入数值：

$P(A\overline{B}) = 0.4 - 0.3 = 0.1$

最终答案：

$\boxed{0.1}$

解析

本题考查概率的基本公式，包括概率的加法公式以及事件的分解。解题思路是先根据概率的加法公式求出$P(A\cap B)$，再利用事件$A$的分解关系求出$P(A\overline{B})$。

  1. 求$P(A\cap B)$：
    根据概率的加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，已知$P(A)=0.4$，$P(B)=0.3$，$P(A\cup B)=0.4$，将其代入公式可得：
    $0.4 = 0.4 + 0.3 - P(A\cap B)$
    移项可得：
    $P(A\cap B)=0.4 + 0.3 - 0.4$
    $P(A\cap B)=0.3$
  2. 求$P(A\overline{B})$：
    因为事件$A$可以分解为两个互斥事件$(A\cap B)$与$(A\cap\overline{B})$的和，即$A = (A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})$，根据互斥事件的概率加法公式可得$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$，移项可得$P(A\overline{B}) = P(A) - P(A\cap B)$。
    将$P(A)=0.4$，$P(A\cap B)=0.3$代入上式可得：
    $P(A\overline{B}) = 0.4 - 0.3 = 0.1$