(7) (int )_(0)^pi (1-(sin )^3theta )dtheta ;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及三角函数高次幂的积分技巧。关键在于将$\sin^3\theta$分解并转化为关于$\cos\theta$的表达式，从而简化积分过程。

解题思路：

1. 拆分积分：将原积分拆分为$\int_0^\pi 1 \, d\theta$和$\int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta$两部分。
2. 处理$\sin^3\theta$：利用三角恒等式$\sin^3\theta = \sin\theta(1 - \cos^2\theta)$，通过变量替换$u = \cos\theta$，将积分转化为关于$u$的多项式积分。
3. 计算定积分：分别计算两部分积分，注意上下限的代入和符号处理。

拆分积分

原积分可拆分为：
$\int_0^\pi (1 - \sin^3\theta) \, d\theta = \int_0^\pi 1 \, d\theta - \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta$

计算第一部分积分

$\int_0^\pi 1 \, d\theta = \theta \Big|_0^\pi = \pi - 0 = \pi$

处理$\sin^3\theta$的积分

将$\sin^3\theta$分解为$\sin\theta(1 - \cos^2\theta)$：
$\int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = \int_0^\pi \sin\theta(1 - \cos^2\theta) \, d\theta$

变量替换：令$u = \cos\theta$，则$du = -\sin\theta \, d\theta$，即$\sin\theta \, d\theta = -du$。当$\theta = 0$时，$u = 1$；当$\theta = \pi$时，$u = -1$。积分变为：
$\int_{u=1}^{u=-1} (1 - u^2)(-du) = \int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du$

计算多项式积分

$\int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$

合并结果

原积分结果为：
$\pi - \frac{4}{3}$