题目
若二维随机变量X`X)的联合概率密度为X`X)，求(1)边缘概率密度X`X)，X`X)(2)条件概率密度函数X`X)，X`X)(3)X`X)
若二维随机变量
的联合概率密度为
，求
(1)边缘概率密度
，
(2)条件概率密度函数
，
(3)
题目解答
答案
本题已知二维随机变量的联合概率密度为
(1)当
时，
当
或
1" data-width="50" data-height="20" data-size="626" data-format="png" style="max-width:100%">时，
，
同理，当
时，
当
或
1" data-width="49" data-height="23" data-size="730" data-format="png" style="max-width:100%">时,
综上，边缘概率密度
，
(2)当时，
当其他情况时，
同理，当时，
当其他情况时，
综上，条件概率密度函数
，
(3)
综上所述，本题答案
(1)边缘概率密度，
(2)条件概率密度函数，
(3)
解析
步骤 1：计算边缘概率密度$f(x)$
当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$f(x)=\int_{0}^{1}f(x,y)dy=\int_{0}^{1}8xydy=4x$
当$x<0$或$x>1$时，$f(x,y)=0$，所以$f(x)=0$
步骤 2：计算边缘概率密度$f(y)$
当$0\leqslant y\leqslant 1$时，$f(y)=\int_{0}^{1}f(x,y)dx=\int_{0}^{1}8xydx=4y$
当$y<0$或$y>1$时，$f(x,y)=0$，所以$f(y)=0$
步骤 3：计算条件概率密度函数$f_{y|x}(y|x)$
当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$f_{y|x}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)}=\frac{8xy}{4x}=2y$
当$x<0$或$x>1$时，$f_{y|x}(y|x)=0$
步骤 4：计算条件概率密度函数$f_{x|y}(x|y)$
当$0\leqslant y\leqslant 1$时，$f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}=\frac{8xy}{4y}=2x$
当$y<0$或$y>1$时，$f_{x|y}(x|y)=0$
步骤 5：计算$P(X+Y\leqslant 1)$
$P(X+Y\leqslant 1)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y}8xydxdy=\int_{0}^{1}4y(1-y)^2dy=\int_{0}^{1}(4y-8y^2+4y^3)dy$
$=\left[2y^2-\frac{8}{3}y^3+y^4\right]_{0}^{1}=2-\frac{8}{3}+1=\frac{1}{3}$
当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$f(x)=\int_{0}^{1}f(x,y)dy=\int_{0}^{1}8xydy=4x$
当$x<0$或$x>1$时，$f(x,y)=0$，所以$f(x)=0$
步骤 2：计算边缘概率密度$f(y)$
当$0\leqslant y\leqslant 1$时，$f(y)=\int_{0}^{1}f(x,y)dx=\int_{0}^{1}8xydx=4y$
当$y<0$或$y>1$时，$f(x,y)=0$，所以$f(y)=0$
步骤 3：计算条件概率密度函数$f_{y|x}(y|x)$
当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$f_{y|x}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)}=\frac{8xy}{4x}=2y$
当$x<0$或$x>1$时，$f_{y|x}(y|x)=0$
步骤 4：计算条件概率密度函数$f_{x|y}(x|y)$
当$0\leqslant y\leqslant 1$时，$f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}=\frac{8xy}{4y}=2x$
当$y<0$或$y>1$时，$f_{x|y}(x|y)=0$
步骤 5：计算$P(X+Y\leqslant 1)$
$P(X+Y\leqslant 1)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y}8xydxdy=\int_{0}^{1}4y(1-y)^2dy=\int_{0}^{1}(4y-8y^2+4y^3)dy$
$=\left[2y^2-\frac{8}{3}y^3+y^4\right]_{0}^{1}=2-\frac{8}{3}+1=\frac{1}{3}$