独立随机变量最大值与最小值分布: F_(min)(z)= ____A. [1-F_(X)(z)][1-F_(Y)(z)]B. 1-[1-F_(X)(z)][1-F_(Y)(z)]C. 1-[1-F_(X)(z)]D. 1-[1-F_(Y)(z)]

考查要点：本题主要考查独立随机变量的最小值分布的计算方法，需要掌握事件的补集概率和独立事件的联合概率性质。

解题核心思路：

• 关键点1：最小值事件 $\min(X,Y) \leq z$ 等价于“$X \leq z$ 或 $Y \leq z$”。
• 关键点2：利用补集法则，将“至少一个变量不超过 $z$”转化为“两个变量都超过 $z$”的补集。
• 关键点3：由于 $X$ 和 $Y$ 独立，联合概率可分解为各自概率的乘积。

步骤1：定义最小值事件

设 $Z = \min(X, Y)$，则 $Z \leq z$ 当且仅当 $X \leq z$ 或 $Y \leq z$。

步骤2：利用补集法则

事件 $\{Z \leq z\}$ 的补集是 $\{Z > z\}$，即 $X > z$ 且 $Y > z$。因此：
$F_{\min}(z) = P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z)$

步骤3：计算补集概率

由于 $X$ 和 $Y$ 独立，联合概率可分解为：
$P(Z > z) = P(X > z \ \text{且} \ Y > z) = P(X > z) \cdot P(Y > z)$
根据分布函数定义，$P(X > z) = 1 - F_X(z)$，同理 $P(Y > z) = 1 - F_Y(z)$，因此：
$P(Z > z) = [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]$

步骤4：代入最终表达式

将补集概率代入步骤2的公式：
$F_{\min}(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]$
对应选项 B。