题目

已知连续型随机变量X的密度函数为 f(x)=} ax^2 & 0 leq x leq 1 0 & (其他) , 求(1)常数 a (2分);(2)X的分布函数 F(x) (3分);(3) P(|X|<0.5) (2分);(4) Y=2X+1, 求 f_Y(y) (3分).

已知连续型随机变量X的密度函数为 $f(x)=\begin{cases} ax^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$, 求(1)常数 $a$ (2分);(2)X的分布函数 $F(x)$ (3分);(3) $P(|X|<0.5)$ (2分);(4) $Y=2X+1$, 求 $f_Y(y)$ (3分).

题目解答

答案

(1) 由概率密度函数性质，$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$，得 $a = 3$。
(2) 分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$，

  • 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$；
  • 当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$F(x) = \int_{0}^{x} 3t^2 \, dt = x^3$；
  • 当 $x > 1$ 时，$F(x) = 1$。
    故 $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x^3, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{cases}$
    (3) $P(|X| < 0.5) = P(0 \leq X < 0.5) = \int_{0}^{0.5} 3x^2 \, dx = 0.125$。
    (4) $Y = 2X + 1$，$f_Y(y) = \frac{1}{2} f\left(\frac{y-1}{2}\right)$，
  • 当 $1 \leq y \leq 3$ 时，$f_Y(y) = \frac{3(y-1)^2}{8}$；
  • 其他情况，$f_Y(y) = 0$。
    故 $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3(y-1)^2}{8}, & 1 \leq y \leq 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

答案：
(1) $a = 3$
(2) $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x^3, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{cases}$
(3) $P(|X| < 0.5) = 0.125$
(4) $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3(y-1)^2}{8}, & 1 \leq y \leq 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

解析

本题主要考查连续型随机变量的概率密度函数、分布函数、概率计算以及随机变量函数的概率密度函数函数的相关知识。解题思路如下：

  1. 求常数常数 $a$：
    根据连续型随机变量概率密度函数的性质，$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
    已知 $f(x)=\begin{cases} ax^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$，则有：
    $\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx&=\int_{0}^{1} ax^2 \, dx\\&=a\cdot\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1\\&=\frac{a}\cdot\frac{1}{3}\\\end{align*}$
    因为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$，所以 $\frac{a}{3}=1$，解得 $a = 3$。
  2. 求 $X$ 的分布函数 $F(x)$：
    分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$。
    • 当 $x < 0$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0$。
    • 当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$F(x)=\int_{0}^{x} 3t^2 \, dt$，根据积分公式 $\int x^n \, dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$，可得：
      $\begin{align*}F(x)&=3\cdot\left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^x\\&=x^3\end{align*}$
    • 当 $x > 1$ 时，$F(x)=\int_{0}^{1} 3t^2 \, dt$，同样根据积分公式可得：
      $\begin{align*}F(x)&=3\cdot\left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^1\\&=3\cdot\frac{1}{3}\\&=1\end{align*}$
      综上，$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x^3, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{cases}$。
  3. 求 $P(|X| < 0.5)$：
    因为 $X\text{supp}(f(x))=[0,1]$，所以 $P(|X| < 0.5)=P(0 \leq X < 0.5)$。
    根据概率计算公式 $P(0 \leq X < 0.5)=\int_{0}^{0.5} 3x^2 \, dx$，根据根据根据积分公式可得：
    $\begin{align*}P(0 \leq X < 0.5)&=3\cdot\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^{0.5}\\&=(0.5)^3\\&=0.125\end{align*}$
  4. 求 $Y = 2X + 1$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$：
    已知 $Y = 2X + 1$，则 $X=\frac{y - 1}{2}$，$J=\frac{dX}{dy}=\frac{1}{2}$。
    根据随机变量函数的概率密度函数公式 $f_Y(y) = |J|f\left(\frac{y - 1}{2}\right)$。
    已知 $f(x)=\begin{cases} 3x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$，则当 $1 \leq y \leq 3$ 时，$0 \frac{y - 1}{2} \in [0,1]$，此时：
    $\begin{align*}f_Y(y)&=\frac{1}{2}f\left(\frac{y - 1}{2}\right)\\&=\frac{1}{2}\cdot 3cdot\left(\frac{y - 1}{2}\right)^2\\&=\frac{3(y - 1)^2}{8}\end{align*}$
    当 $y\notin [1,3]$ 时，$f_Y(y) = 0$。
    综上，$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3(y - 1)^2}{8}, & 1 \leq y \leq 3, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$。