4.设f在[a,b]上有界，(a_{n)}⊂[a,b]，lim_(ntoinfty)a_(n)=c.证明：若f在[a,b]上只有a_(n)（n=1,2,...）为其间断点，则f在[a,b]上可积.

设 $ f $ 在 $[a, b]$ 上的振幅为 $ \omega $，任给 $ \xi > 0 $，取 $ \delta = \frac{\xi}{4\omega} $（满足 $ \delta < \min\{c-a, b-c\} \））。由 $ \lim_{n \to \infty} a_n = c $，存在 $ N $，当 $ n > N $ 时，$ a_n \in (c-\delta, c+\delta) $。 在 $[a, c-\delta] \cup [c+\delta, b]$ 上，$ f $ 只有有限个间断点，故可积。存在分割 $ T' $ 和 $ T'' $，使得 \[ \sum_{T'} \omega_i' \Delta x_i' < \frac{\xi}{4}, \quad \sum_{T''} \omega_i'' \Delta x_i'' < \frac{\xi}{4}. \] 取 $ T $ 为 $ T' $ 和 $ T'' $ 的分点并添加 $ c-\delta $ 和 $ c+\delta $，则 \[ \sum_{T} \omega_i \Delta x_i \leq \frac{\xi}{4} + \frac{\xi}{4} + \omega \cdot 2\delta = \xi. \] 由可积准则，$ f $ 在 $[a, b]$ 上可积。 若 $ c = a $ 或 $ c = b $，类似地取 $ \delta = \frac{\xi}{2\omega} $，可证 $ f $ 在 $[a, b]$ 上可积。 **答案：** \[ \boxed{f \text{ 在 } [a, b] \text{ 上可积。}} \]