题目
若 ((1+i))^n=((1-i))^n, 试求n的值.
题目解答
答案
解：
∵
，
∵
∴原式可转化为
，
故只要
是偶数，等式就恒成立。
∴答案为
。
解析
步骤 1：将复数表示为极坐标形式
将复数 $1+i$ 和 $1-i$ 表示为极坐标形式。$1+i$ 的模为 $\sqrt{2}$，幅角为 $\frac{\pi}{4}$；$1-i$ 的模为 $\sqrt{2}$，幅角为 $-\frac{\pi}{4}$。
步骤 2：应用复数的幂运算
根据复数的幂运算，${(1+i)}^{n}={(1-i)}^{n}$ 可以表示为 ${(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})}^{n}={(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})}^{n}$。
步骤 3：化简等式
化简等式得到 ${(\sqrt{2})}^{n}e^{i\frac{n\pi}{4}}={(\sqrt{2})}^{n}e^{-i\frac{n\pi}{4}}$。由于模相等，只需考虑幅角相等。
步骤 4：求解幅角相等的条件
幅角相等的条件为 $\frac{n\pi}{4}=-\frac{n\pi}{4}+2k\pi$，其中 $k$ 为整数。化简得到 $n\pi=2k\pi$，即 $n=4k$。
将复数 $1+i$ 和 $1-i$ 表示为极坐标形式。$1+i$ 的模为 $\sqrt{2}$，幅角为 $\frac{\pi}{4}$；$1-i$ 的模为 $\sqrt{2}$，幅角为 $-\frac{\pi}{4}$。
步骤 2：应用复数的幂运算
根据复数的幂运算，${(1+i)}^{n}={(1-i)}^{n}$ 可以表示为 ${(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})}^{n}={(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})}^{n}$。
步骤 3：化简等式
化简等式得到 ${(\sqrt{2})}^{n}e^{i\frac{n\pi}{4}}={(\sqrt{2})}^{n}e^{-i\frac{n\pi}{4}}$。由于模相等，只需考虑幅角相等。
步骤 4：求解幅角相等的条件
幅角相等的条件为 $\frac{n\pi}{4}=-\frac{n\pi}{4}+2k\pi$，其中 $k$ 为整数。化简得到 $n\pi=2k\pi$，即 $n=4k$。