若 ((1+i))^n=((1-i))^n, 试求n的值.

考查要点：本题主要考查复数的幂运算性质，特别是复数的极坐标形式（模和辐角）在解方程中的应用。

解题核心思路：
将复数$(1+i)$和$(1-i)$转换为极坐标形式，利用模相等和辐角相差$2\pi$的整数倍的条件，建立方程求解$n$。

破题关键点：

1. 极坐标转换：计算$(1+i)$和$(1-i)$的模和辐角。
2. 等式条件：复数相等的充要条件是模相等且辐角之差为$2\pi$的整数倍。
3. 方程求解：通过辐角关系推导$n$的取值规律。

步骤1：将复数转换为极坐标形式

• $(1+i)$的模为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，辐角为$\frac{\pi}{4}$。
• $(1-i)$的模为$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$，辐角为$-\frac{\pi}{4}$。

步骤2：写出幂运算的极坐标形式

• $(1+i)^n$的模为$(\sqrt{2})^n$，辐角为$n \cdot \frac{\pi}{4}$。
• $(1-i)^n$的模为$(\sqrt{2})^n$，辐角为$n \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)$。

步骤3：建立等式条件
根据题意$(1+i)^n = (1-i)^n$，需满足：

1. 模相等：$(\sqrt{2})^n = (\sqrt{2})^n$（恒成立）。
2. 辐角相等：$n \cdot \frac{\pi}{4} = n \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi$（$k$为整数）。

步骤4：解辐角方程
整理方程：
$n \cdot \frac{\pi}{4} + n \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi \implies \frac{n\pi}{2} = 2k\pi \implies n = 4k.$

结论：$n$为4的整数倍，即$n = 4k$（$k \in \mathbb{Z}$）。