(2) lim _(xarrow infty )((dfrac {2x+3)(2x+1))}^x+1;

考查要点：本题主要考查利用重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$求解形如$1^\infty$型的极限问题。

解题核心思路：

1. 变形化简：将分式$\dfrac{2x+3}{2x+1}$改写为$1 + \dfrac{2}{2x+1}$的形式，使其符合重要极限的结构。
2. 指数拆分：通过调整指数$x+1$，将其与分母$2x+1$关联，构造出类似$\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$的结构。
3. 极限计算：分别计算变形后的两部分极限，最终结合得到结果。

破题关键点：

• 识别$1^\infty$型不定式，确定使用自然对数或重要极限公式。
• 灵活拆分指数，将复杂表达式转化为已知极限形式。

步骤1：化简分式
将分式$\dfrac{2x+3}{2x+1}$改写为：
$\dfrac{2x+3}{2x+1} = 1 + \dfrac{2}{2x+1}.$

步骤2：代入原极限表达式
原式变为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{2x+1}\right)^{x+1}.$

步骤3：构造重要极限形式
将指数$x+1$拆分为$\dfrac{2x+1}{2} \cdot \dfrac{2(x+1)}{2x+1}$，即：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{2x+1}\right)^{\dfrac{2x+1}{2} \cdot \dfrac{2(x+1)}{2x+1}}.$

步骤4：应用重要极限公式
第一部分$\left(1 + \dfrac{2}{2x+1}\right)^{\dfrac{2x+1}{2}}$的极限为$e$，第二部分$\dfrac{2(x+1)}{2x+1}$的极限为：
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{2(x+1)}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + 2}{2x + 1} = 1.$

步骤5：综合结果
最终结果为：
$e \cdot 1 = e.$